하안동 고3 수학과외에서 확인한 조합 조건의 누락
하안동의 진성고등학교를 다니는 학생은 평일 귀가 시간과 시험 범위를 함께 조정하며 수학 재풀이를 진행했다. 같은 광명시의 광명북고등학교, 명문고등학교, 소하고등학교, 광명고등학교는 참고 생활권으로만 구분하고, 학교별 일정은 실제 확인된 범위 안에서 따로 기록했다.
답이 틀린 지점은 계산보다 ‘같은 선택’을 세는 방식이었다
학생은 6명 중 3명을 뽑는 문제에서 다음과 같이 적었다.
오답: 순서가 있으므로 \( {}_6P_3=6\cdot5\cdot4=120 \), 따라서 답은 120
하지만 문제의 조건은 “6명 중 대표 3명을 뽑는다”였으므로 세 사람의 순서는 중요하지 않다. 예를 들어 민수·지수·현우를 뽑은 경우와 현우·민수·지수를 뽑은 경우는 같은 대표단이다. 학생의 오답은 순서를 고려해야 하는지 판단하지 않고 중복된 선택을 여러 번 센 것이다.
각 대표단은 \(3!\)가지 순서로 반복되므로 정확한 식은
\[ {}_6C_3=\frac{{}_6P_3}{3!} =\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1} =20 \]
이다. 끝점의 포함 여부를 표시하듯, 조합에서도 “순서 허용”인지 “중복 허용”인지 조건 옆에 먼저 적어야 한다. 순서와 중복은 서로 다른 조건이므로, 순서가 없다고 해서 중복까지 허용되는 것은 아니다.
재풀이에서 실제로 바꾼 확인 순서
- 틀린 줄에 밑줄을 긋고 \( {}_6P_3 \)를 사용한 이유를 적는다.
- “대표 3명”은 순서가 없고, 한 사람을 두 번 뽑을 수 없다는 조건을 분리해 쓴다.
- 같은 세 명이 몇 번 반복되었는지 \(3!\)로 확인한다.
- \(20\)개의 대표단을 직접 나열하지 않고, 첫 번째 사람 선택 \(6\), 두 번째 \(5\), 세 번째 \(4\)로 센 뒤 \(3!\)로 나누어 식을 수정한다.
- 반대로 \(20\cdot3!=120\)을 계산해 순서를 기록한 경우의 수와 일치하는지 역검산한다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제는 5명의 학생 중 회장 1명과 부회장 1명을 뽑는 경우이다. 이번에는 직책이 다르므로 순서가 있는 선택과 같은 효과를 낸다.
\[ 5\cdot4=20 \]
따라서 답은 \( {}_5P_2=20 \)이다. 반면 직책 없이 2명만 선정한다면
\[ {}_5C_2=\frac{5\cdot4}{2!}=10 \]
이 된다. 학생은 두 문제에서 “직책이 있어 순서가 생기는가”, “같은 사람을 반복 선택할 수 있는가”를 각각 표시한 뒤 계산했고, \(10\cdot2!=20\)으로 다시 확인했다.