철산동고2수학과외, 치환한 값이 실제 삼각함수 범위에 들어가는지 확인하기
철산동의 광명북고등학교와 광명고등학교를 오가는 학생들은 귀가 뒤 학교 프린트와 지필평가 문제를 짧은 시간에 정리해야 하는 경우가 있다. 이때 삼각방정식은 계산 속도보다 치환한 값이 실제로 가능한지 판단하는 과정이 중요하다.
t=sin x로 바꾼 뒤 t=2를 답으로 남긴 오답
각의 범위가 0≤x≤2π일 때 다음 방정식을 살펴보자.
sin²x−3sin x+2=0
sin x를 t로 치환하면
t²−3t+2=0
(t−1)(t−2)=0
따라서 t=1 또는 t=2이다. 여기서 학생이 “sin x=1 또는 sin x=2”라고 적고 두 경우를 모두 삼각방정식으로 풀었다면, 치환 결과만 계산하고 t의 성립 범위를 확인하지 않은 것이다.
모든 실수 x에 대해 −1≤sin x≤1이므로 t=2는 불가능하다. 남는 조건은 sin x=1이고, 주어진 범위에서는
x=π/2
뿐이다. 치환식의 해가 곧바로 x의 해가 되는 것이 아니라, t가 sin x가 될 수 있는 값인지 먼저 걸러야 한다.
계산표에 치환 변수의 범위를 함께 적기
이 유형에서는 식을 푼 직후 다음 줄을 답안에 남기는 훈련이 필요하다.
t=sin x, −1≤t≤1
그 뒤 t의 후보를 하나씩 확인한다.
예를 들어 같은 각의 범위에서
sin²x−4sin x+3=0
을 풀면
t²−4t+3=0
(t−1)(t−3)=0
t=1 또는 t=3
이다. −1≤t≤1에 따라 t=3은 제거하고 t=1만 남긴다. 그러므로 sin x=1에서 x=π/2를 얻는다. 이처럼 ‘후보 계산 → 치환 범위 확인 → x로 복귀’의 세 줄을 분리하면 불가능한 값을 답에 포함하는 실수가 줄어든다.
cos x로 바꾼 새로운 조건에서 마지막 대입까지 확인하기
다음 문제에서는 치환 대상과 계수를 바꿔 보자.
2cos²x−3cos x+1=0, 0≤x≤2π
u=cos x라 두면
2u²−3u+1=0
(2u−1)(u−1)=0
따라서 u=1/2 또는 u=1이다. 두 값 모두 −1≤u≤1을 만족하므로 제거할 후보가 없다.
cos x=1이면 x=0이고, cos x=1/2이면
x=π/3, 5π/3
이다. 마지막으로 각 값을 원래 식에 대입하면 cos x=1일 때 2−3+1=0, cos x=1/2일 때 2·1/4−3·1/2+1=0이므로 결과가 확인된다. 숫자와 치환 문자가 달라져도 범위 표시와 원식 대입을 스스로 이어 가는지가 이 단원의 확인 지점이다.