철산동 고3 수학과외에서 점검한 선택과 배열의 차이
철산동의 광명북고등학교와 광명고등학교 학생을 지도할 때는 문제를 많이 푸는 것보다, 귀가 시각 이후 과제를 어떤 순서로 처리하고 시험 준비를 언제 시작하는지까지 함께 점검한다. 특히 조합 문제에서 순서와 선택 조건을 섞으면 계산은 빨라도 답 전체가 달라진다.
순서를 세기 전에 허용되는 선택부터 분류하기
한 학생은 7명의 후보 중 회장 1명과 부회장 2명을 뽑되, 부회장끼리는 직책을 구분하지 않는 문제를 보고 다음과 같이 풀었다.
학생의 오답: 7P3 = 7×6×5 = 210
이 식은 회장과 부회장 두 자리를 모두 서로 다른 순서로 배열한 값이다. 회장은 직책이 정해져 있지만 부회장 두 명의 순서는 바뀌어도 같은 선출 결과이므로, 부회장 두 사람을 두 번씩 세고 있다. 따라서 210은 잘못된 답이다.
회장을 먼저 고르면 7가지이고, 남은 6명 중 부회장 2명을 순서 없이 선택하므로 실제 경우의 수는
7×6C2 = 7×15 = 105
이다. 또는 세 명을 순서 있게 뽑은 뒤 부회장 두 명의 배열을 나누어
7P3 ÷ 2! = 210÷2 = 105
로 계산할 수도 있다. 핵심은 계산식을 외우는 것이 아니라, 두 결과가 같은 선출인지 다른 선출인지 변수의 역할을 확인하는 데 있다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 다시 읽는 과정
학생은 풀이 노트에서 7P3에 밑줄을 긋고, ‘부회장 A와 부회장 B의 순서를 구분하는가?’라고 적었다. 회장과 부회장은 역할이 다르지만 부회장끼리는 역할이 같다는 조건을 확인한 뒤, 해당 줄을 7×6C2로 고쳤다.
수정 후에는 회장을 특정한 한 사람으로 고정해 부회장 선택을 직접 확인했다. 회장이 1명 정해지면 남은 6명에서 2명을 고르는 경우가 15개이므로, 7명의 회장 후보에 대해 7×15=105가 된다. 반대로 순열로 센 210을 부회장 두 사람의 교환 횟수인 2!로 나누어 같은 결과가 나오는지도 역검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 8명의 학생 중 발표자 2명과 사회자 1명을 뽑되 발표자 두 명의 순서는 구분하지 않는 문제를 새로 제시했다. 학생은 먼저 발표자 둘을 선택하고 사회자를 정하는 구조로 바꾸어 풀었다.
발표자 선택은 8C2, 남은 6명 중 사회자 선택은 6가지이므로
8C2×6 = 28×6 = 168
이다. 발표자와 사회자를 한 번에 순서 있게 뽑으면 8P3으로 계산되지만 발표자 두 명의 순서를 구분하지 않아야 하므로
8P3÷2! = (8×7×6)÷2 = 168
이 된다. 처음 문제의 숫자와 직책을 반복하지 않고도, 순서 없는 두 대상을 순열처럼 세지 않는다는 원칙을 스스로 확인한 것이다.