철산동고1수학과외: 행렬 곱의 한 원소를 행과 열로 좁혀 계산하기
철산동에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 진행할 때는 행렬 전체를 무작정 계산하기보다, 문제에서 요구한 원소에 필요한 부분만 정확히 찾는 연습이 효율적이다. 특히 광명북고등학교나 광명고등학교 학교 프린트에서 행렬의 크기와 특정 원소가 함께 제시되면, 계산 전에 행과 열을 구분해야 한다.
곱셈을 시작하기 전, 크기부터 적는다
예를 들어
A = [ [1, -2, 0], [3, 4, -1] ], B = [ [2, 5], [-1, 3], [4, 0] ]
라면 A는 2×3 행렬이고 B는 3×2 행렬이다. 앞 행렬의 열 수 3과 뒤 행렬의 행 수 3이 같으므로 AB는 계산할 수 있으며, 결과는 2×2 행렬이다.
학생은 이 크기를 적지 않은 채 곧바로 계산하면서 2×3을 3×2처럼 읽고, “행의 수가 다르므로 곱할 수 없다”고 판단했다. 행과 열을 바꾸어 읽은 것이 오류의 출발점이다. 곱셈 가능 여부는 바깥쪽 수가 아니라 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수로 결정한다.
(AB)의 2행 1열에는 네 수만 들어간다
(AB)2,1만 구한다면 A의 2행과 B의 1열을 골라 대응하는 항끼리 곱해 더한다.
A의 2행은 [3, 4, -1], B의 1열은 세로로 [2, -1, 4]이다.
(AB)2,1 = 3×2 + 4×(-1) + (-1)×4 = 6 - 4 - 4 = -2
따라서 결과 행렬의 나머지 원소까지 계산할 필요는 없다. 행렬의 크기를 먼저 적은 뒤, 요구된 위치의 행과 열에 표시를 남기는 것이 이 유형에서 필요한 구체적인 행동이다.
여백에 남겨야 할 계산 흔적
- A: 2×3, B: 3×2라고 적어 곱셈 가능 여부를 확인한다.
- 요구된 결과 원소의 행 번호를 앞 행렬에서 찾는다.
- 열 번호를 뒤 행렬에서 찾는다.
- 같은 위치의 항끼리 곱한 뒤 모두 더한다.
예를 들어 문제에 “(AB)2,1의 값을 구하여라”라고 쓰여 있으면, 전체 AB를 먼저 만들지 않고 바로 A의 2행과 B의 1열을 연결한다. 이 과정을 표시하지 않았던 학생에게는 정답을 외우게 하기보다, 각 숫자 위에 ‘2행’, ‘1열’을 직접 표시하게 하여 행과 열의 역할을 분리하도록 했다.
수치를 바꾼 프린트형 검증
같은 식을 다시 풀게 하지 않고 다음 문항으로 바꾸어 확인했다.
C = [ [2, -1, 5], [0, 3, 4], [-2, 1, 6] ], D = [ [1, 2, 0, -3], [4, -1, 2, 5] ]
C는 3×3, D는 2×4이므로 CD는 정의되지 않는다. 앞 행렬 C의 열 수 3과 뒤 행렬 D의 행 수 2가 다르기 때문이다. 여기서 학생이 행렬을 뒤집어 읽어 DC를 계산하려 한다면, 문제에 적힌 곱의 순서가 CD인지 먼저 되돌아가야 한다.
표현을 바꾸어 “C의 행과 D의 열을 대응시킬 수 있는가?”라고 물었을 때도 같은 결론을 내리는지 확인한다. 학교 프린트와 문제집에서 기호나 질문 순서가 달라도, 앞 행렬의 열과 뒤 행렬의 행을 비교하는 판단을 유지해야 한다.
시간이 부족할 때의 보류 기준
철산13단지나 철산주공8단지 생활권에서 귀가한 뒤 과제량이 많은 날에는 행렬 전체를 계산하다가 한 문항을 놓칠 수 있다. 특정 원소 문제에서 크기 확인이나 행·열 선택이 바로 되지 않으면 표시만 남기고 다음 문항으로 넘어간다. 이후 복귀했을 때는 행렬의 크기 → 곱셈 가능 여부 → 필요한 행과 열 순서로 다시 확인한다. 이 세 기록이 남아 있고 수치를 바꾼 문제에서도 같은 판단을 했다면 해당 학습 항목을 마무리할 수 있다.