소하동고2수학과외

소하동 고2수학과외, 삼각방정식의 해를 주기와 범위로 완성하기

“cos x = 0이므로 x=\frac{\pi}{2}.”

소하3단지와 소하상업지구 생활권에서 학교 프린트와 지필평가를 함께 준비할 때, 이처럼 기준각 하나만 적고 답을 끝내는 풀이가 발견되었다. 문제는 각의 범위를 여백에 표시하지 않은 채 주기 확장을 생략했다는 점이다. 삼각방정식에서는 기본해를 찾는 것과 주어진 구간 안의 모든 해를 골라내는 것이 한 과정이다.

cos x=0에서 π/2 하나만 남은 이유

예를 들어 다음 문제를 0≤x≤2π에서 풀어 보자.

문제: \cos x=0의 해를 구하여라.

코사인값이 0이 되는 기준각은 \frac{\pi}{2}이고, 코사인의 주기는 2\pi가 아니라 해의 간격으로는 \pi이다. 따라서 일반해는

x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})

이다. 이제 범위 0≤x≤2π를 대입하면

k=0일 때 x=\frac{\pi}{2},
k=1일 때 x=\frac{3\pi}{2}

이므로 답은 \frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}이다. \frac{\pi}{2}만 적은 오답은 기준각은 찾았지만 일반해와 범위 판정을 끝내지 않은 상태다.

여백에 구간을 먼저 고정하는 미니 훈련

풀이 시작 전에 식 옆에 반드시 범위: 0≤x≤2π를 적고, 일반해를 쓴 뒤 구간에 들어오는 값만 표시한다. 계수는 그대로 두고 숫자 하나만 바꾼 미니문제로 다음을 처리한다.

미니문제: \cos x=\frac12,\quad 0≤x≤2\pi

기준각은 \frac{\pi}{3}이며 코사인이 양수인 제1, 제4사분면을 확인한다.

x=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}

처럼 두 해를 적은 뒤, 각각 원식에 대입해 \cos\frac{\pi}{3}=\frac12, \cos\frac{5\pi}{3}=\frac12인지 확인한다. 이때 핵심 행동은 기준각만 쓰지 않고, 범위와 사분면을 함께 이용해 해를 확장하는 것이다.

끝점이 바뀌면 해의 개수도 달라진다

새 조건에서는 숫자가 아니라 구간의 끝점을 바꾸어 확인한다.

검증문제: \sin x=0,\quad 0<x<2\pi

일반해는 x=k\pi이다. 그러나 열린 구간에서는 x=0과 x=2\pi가 포함되지 않으므로, 이 범위 안의 해는

x=\pi

하나뿐이다. 풀이에서 0≤x≤2π로 잘못 읽어 0,\pi,2\pi를 적었다면 열린점과 닫힌점을 구분하지 못한 것이다. 주기성으로 해를 늘린 뒤에는 반드시 주어진 구간의 양 끝이 포함되는지 확인해야 한다.

소하고등학교·운산고등학교·광휘고등학교·충현고등학교·창의경영고등학교가 있는 소하동의 고2 수학 학습에서는 문제를 푼 뒤 답만 확인하지 않고, 여백의 범위 표시, 일반해, 끝점 판정까지 남아 있는지를 확인하는 것이 삼각방정식 풀이를 안정시키는 기준이 된다.