소하동 고3 수학과외: 순서 조건을 먼저 판별하는 순열 풀이
소하동에서 소하고등학교, 운산고등학교, 광휘고등학교, 충현고등학교, 창의경영고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 공부하던 고3 학생은 순열 문제에서 계산보다 조건 해석이 먼저라는 점을 점검했다. 같은 광명시의 광명북고등학교는 참고 학교로 구분하고, 학생의 실제 학교 일정에 맞춰 짧은 문제 풀이와 오답 분석을 반복했다.
조합 기호를 바로 쓴 첫 풀이
학생은 다음 문제를 읽고 순서를 확인하지 않은 채 선택 문제로 판단했다.
5명의 학생 A, B, C, D, E를 한 줄로 세우는 방법의 수를 구하여라.
답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: ₅C₃ = 10
이 식은 5명 중 3명을 고르는 경우를 나타내므로 문제의 조건과 맞지 않는다. 제시된 문제는 3명을 선택하는 문제가 아니라 5명 모두를 일렬로 배열하는 문제다. 배열에서는 A, B, C와 C, B, A를 서로 다른 경우로 세므로 순서가 중요하다.
선택과 배열을 분리해 식을 고치기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 변수와 조건을 다시 적었다.
- 사용할 사람의 수: 5명
- 선택하는 사람의 수: 5명 전원
- 배열 순서의 중요성: 중요함
- 반복 사용 여부: 없음
첫 자리는 5명, 둘째 자리는 남은 4명, 셋째 자리는 3명, 넷째 자리는 2명, 마지막 자리는 1명이 들어간다. 따라서 정확한 식은
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120
이다. 또는 순열의 정의에 따라
₅P₅ = 5!/(5-5)! = 5!/0! = 120
으로 계산할 수 있다. 조합 ₅C₃은 순서를 고려하지 않고 5명 중 3명을 고르는 식이므로 이 문제의 답이 될 수 없다.
학생은 계산 후 특정 배열 하나인 A-B-C-D-E를 정하고, 각 사람의 위치를 바꾸어도 새로운 배열이 되는지 확인했다. 또한 120개의 배열을 첫 자리가 A, B, C, D, E인 다섯 묶음으로 나누면 각 묶음이 4! = 24개이므로 5 × 24 = 120이 되어 답을 역검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 인원과 선택 조건을 바꾸어 다음 문제를 풀었다.
6명 중 4명을 뽑아 순서를 정해 한 줄로 세우는 방법의 수를 구하여라.
이번에는 6명 전원을 배열하는 것이 아니라 6명 중 4명을 선택한 뒤 순서를 정한다. 따라서
₆P₄ = 6 × 5 × 4 × 3 = 360
이다. 조합으로 먼저 고르면 ₆C₄ = 15가지이고, 선택된 4명을 배열하는 방법이 4! = 24가지이므로
₆C₄ × 4! = 15 × 24 = 360
으로도 일치한다. 학생은 문제를 읽을 때 ‘몇 명을 고르는가’와 ‘고른 사람의 순서를 구분하는가’를 먼저 표시하며, 순열과 조합의 기호를 바로 선택하지 않는 연습을 이어갔다.