소하동고1수학과외, 행렬 스칼라배의 모든 원소 확인하기
소하동의 고등학교 수학 학습에서는 학교 프린트와 교과서 문제를 짧은 시간 안에 처리해야 하는 경우가 있다. 특히 평일 귀가 시간이 늦거나 소하상업지구와 소하2단지 주변 일정이 겹친 날에는 계산을 서두르면서 행렬의 스칼라배에서 일부 원소를 빠뜨리는 오류가 나타난다.
한 원소만 바뀐 행렬 답안
다음 계산을 살펴보자.
-2A, A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}
학생은 답안에 다음과 같이 적었다.
-2A=\begin{pmatrix}-4&-1\\0&3\end{pmatrix}
첫 번째 행의 첫 원소에는 -2를 곱했지만, 나머지 세 원소는 그대로 두었다. 그러나 스칼라배는 행렬 전체에 같은 수를 곱하는 연산이다.
따라서 각 위치의 원소를 따로 계산하면
-2A=\begin{pmatrix}(-2)\cdot2&(-2)\cdot(-1)\\(-2)\cdot0&(-2)\cdot3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4&2\\0&-6\end{pmatrix}
가 된다. 0은 곱한 뒤에도 0이지만, 원소를 확인하지 않고 그대로 둔 것이 아니라 (-2)×0=0이라는 계산 결과여야 한다.
계산을 시작하기 전 행렬의 크기와 위치 표시
시간 제한이 생기면 학생은 확인 표시를 생략하고 곧바로 다음 줄의 계산으로 넘어갔다. 혼자 풀 때에도 “모든 원소에 스칼라를 곱한다”는 말을 하지 않아, 첫 원소만 처리한 뒤 행렬을 복사하는 행동이 반복되었다.
이를 바꾸기 위해 행렬의 각 위치를 눈으로 따라가며 다음처럼 표시한다.
c\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ca&cb\\cc&cd\end{pmatrix}
예를 들어
4\begin{pmatrix}-3&2\\5&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\cdot(-3)&4\cdot2\\4\cdot5&4\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-12&8\\20&-4\end{pmatrix}
처럼 네 칸을 한 번씩 지나간다. 행렬의 모양은 그대로 유지되고, 각 칸의 값만 스칼라에 의해 변한다는 점도 함께 확인할 수 있다.
다음 연산으로 넘어가기 전 짧은 검산
스칼라배 뒤에 행렬의 덧셈이나 뺄셈이 이어진다면 먼저 스칼라배 결과만 분리해서 확인한다.
A=\begin{pmatrix}1&-2\\3&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4&1\\-1&5\end{pmatrix}
일 때
2A+B =2\begin{pmatrix}1&-2\\3&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}4&1\\-1&5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&-4\\6&0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}4&1\\-1&5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6&-3\\5&5\end{pmatrix}
이다. 첫 단계의 네 원소가 모두 바뀌었는지 확인하지 않으면, 뒤의 행렬 덧셈이 맞아도 전체 답은 틀린다.
학교 일정 속에서 확인할 계산 단위
소하고등학교, 운산고등학교, 광휘고등학교, 충현고등학교, 창의경영고등학교의 실제 시험 범위와 수행평가 일정은 각각 다를 수 있으므로 특정 학교의 출제 경향을 단정할 수는 없다. 다만 평일 학습 시간이 짧은 날에는 행렬 한 문제를 풀고 곧바로 답을 확인하기보다, 스칼라배가 포함된 줄에 네 원소를 표시했는지만 점검하는 방식이 효율적이다.
같은 광명시의 광명북고등학교는 참고 학교일 뿐 소하동 지역 내 학교로 보아서는 안 된다. 학교 일정이 어떻든 이 계산에서는 문제를 읽은 직후 스칼라배의 적용 범위를 먼저 표시하는 행동이 기준이 된다.
조건이 달라진 문제에서 확인할 수 있는가
행렬 문제에서 표시 습관이 자리 잡았는지는 같은 숫자를 다시 쓰는 대신 새로운 조건에서 살핀다. 예를 들어 다음 행렬의 스칼라배를 계산하게 한다.
-3\begin{pmatrix}0&-4\\2&-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&12\\-6&15\end{pmatrix}
이때 학생이 첫 원소만 계산하지 않고 네 위치에 -3을 모두 적용하는지 본다. 이어서 주어진 조건이 추가된 문장제에서 그림의 위치가 달라지면, 길이·각·평행 조건을 직접 표시하고 필요한 성질을 고르는지도 확인한다. 이는 문제의 모양이 바뀌었을 때도 먼저 조건을 표시한 뒤 계산이나 성질 선택으로 넘어가는지 살피는 과정이다.
마지막으로 학생이 중2 과정으로 넘어가기 전 중1에서 끝내지 못한 내용을 묻는다면, 단순히 “몰라요”라고 하지 않고 어떤 정의나 성질을 설명하지 못하는지 말할 수 있어야 한다. 행렬에서도 마찬가지로 스칼라배를 “행렬의 모든 원소에 같은 수를 곱하는 것”이라고 설명하고, 실제 네 칸의 계산을 재현할 수 있을 때 해당 오류가 수정된 것으로 판단한다.