광명동고2수학과외

광명동고2수학과외에서 확인한 삼각방정식의 빠진 해

광명동의 명문고등학교·광문고등학교·경기항공고등학교처럼 학교와 생활권이 다르면 귀가 뒤 확보되는 풀이 시간이 달라질 수 있다. 그러나 삼각방정식에서는 풀이 시간보다 첫 줄에서 기본각과 사분면을 함께 세우는지가 더 직접적인 차이를 만든다.

π/6만 적고 5π/6을 놓친 이유

풀이에 다음과 같이 적혀 있었다.

sin x = 1/2 → x = π/6

π/6은 기준각으로는 맞지만, 사인값이 양수인 제1사분면과 제2사분면을 모두 확인하지 않았다. 0≤x<2π에서 사인이 양수인 곳은 제1·제2사분면이므로

x=π/6, 5π/6

가 기본해다. 일반해로 쓰면 각각의 주기 2π를 반영하여

x=π/6+2kπ 또는 x=5π/6+2kπ  (k∈ℤ)

이다. π/6을 원래 식에 대입하면 sin(π/6)=1/2이고, 5π/6도 sin(5π/6)=1/2이므로 두 해를 빠뜨릴 수 없다.

계수와 부호가 바뀌면 사분면부터 다시 세우기

기본식을 외워서 숫자만 바꾸는 대신, 계수를 정리한 뒤 부호와 기준각을 새로 표시해야 한다. 예를 들어

2cos x+1=0,  0≤x<2π

에서는 먼저 cos x=-1/2로 바꾼다. 기준각은 π/3이고 코사인이 음수인 제2·제3사분면을 선택하므로

x=2π/3, 4π/3

이다. 두 값을 대입하면 cos(2π/3)=cos(4π/3)=-1/2이므로 원래 식의 좌변은 각각 0이 된다.

부등식에서는 경계각과 부호를 함께 확인하기

식의 표현이 달라져도 같은 판단을 이어 가는지 확인하기 위해

sin x≥1/2,  0≤x≤2π

를 살펴본다. 사인값이 1/2 이상인 구간은 제1·제2사분면 사이이므로

π/6≤x≤5π/6

이다. 등호가 포함되어 있으므로 양 끝의 π/6과 5π/6도 답에 포함한다. 여기서 π/6만 적는다면 방정식에서의 누락이 부등식의 구간 판단에서도 반복된 것이다.

훈련할 때는 풀이 첫 줄을 비워 두지 않고 기준각 → 삼각함수 부호 → 사분면 → 주기 또는 구간 순서로 적는다. 틀린 해가 의심되면 계산기나 그래프에 의존하기 전에 해당 각의 삼각함수값을 직접 대입해 원래 식이 보존되는지 확인한다.

식만 주어진 검증 문항

마지막에는 그래프 없이 다음을 해결한다.

−√3 sin x+1=0,  0≤x<2π

정리하면 sin x=1/√3이다. 기준각을 α=arcsin(1/√3)이라 둘 때 사인이 양수인 제1·제2사분면을 사용하여

x=α, π−α

를 얻는다. 두 해를 모두 적고 sin x=1/√3을 다시 대입했다면, 계수와 표현이 바뀌어도 기본해·사분면·범위를 처음부터 재구성한 것으로 확인할 수 있다.