광명동 고3수학과외, 조건을 먼저 읽는 배열·경우의 수 풀이
광명동에는 명문고등학교, 광문고등학교, 경기항공고등학교가 있고, 광명시 안에서는 광명북고등학교와 소하고등학교도 참고할 수 있다. 다만 이 학교들이 모두 광명동에 있는 것은 아니다. 광명역세권5단지나 광명자이더샵포레나1단지처럼 생활권과 학교의 거리가 다른 만큼, 같은 광명동 학생이라도 귀가 후 공부할 수 있는 시간이 달라질 수 있다.
최근 한 고3 학생은 숫자와 조건이 바뀐 경우의 수 문제에서 새 조건보다 전에 풀었던 중간식을 먼저 적었다. 특히 합의 법칙과 곱의 법칙을 구별하는 것까지는 가능했지만, 두 조건이 동시에 성립하는 경우를 빼야 하는지는 놓치고 있었다.
곱한 뒤 겹친 경우를 한 번 빼야 하는 이유
다음과 같은 두 자리 수를 생각해 보자. 첫째 자리의 후보는 {1, 2, 3, 4}, 둘째 자리의 후보는 {3, 4, 5, 6}이다. 첫째 자리가 홀수이거나 둘째 자리가 짝수인 경우를 구한다.
첫째 자리가 홀수인 사건을 A, 둘째 자리가 짝수인 사건을 B라 하면
- A: 첫째 자리 {1, 3}, 둘째 자리 4개이므로 \(2\times4=8\)
- B: 첫째 자리 4개, 둘째 자리 {4, 6}이므로 \(4\times2=8\)
- A와 B가 동시에 성립: 첫째 자리 {1, 3}, 둘째 자리 {4, 6}이므로 \(2\times2=4\)
따라서 합의 법칙을 그대로 더하는 것이 아니라, 겹친 경우를 한 번 제거해야 한다.
\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=8+8-4=12\)
학생은 \(2\times4+4\times2=16\)이라고 적었다. 이 식은 A와 B를 각각 세었지만, 예를 들어 14, 16, 34, 36처럼 두 조건을 모두 만족하는 네 경우를 두 번 포함한다. 따라서 이 오답은 곱의 법칙을 적용한 뒤 합의 법칙으로 더하는 과정에서 교집합을 빼지 않은 오류이다.
틀린 줄을 표시하고 원식으로 되돌아가기
풀이 중 학생은 \(8+8=16\)이라고 적은 줄에 표시를 하고, 각 항이 어떤 조건을 뜻하는지 화살표로 연결했다.
- \(2\times4\) → 첫째 자리가 홀수인 모든 경우
- \(4\times2\) → 둘째 자리가 짝수인 모든 경우
- 두 화살표가 만나는 부분 → 첫째 자리가 홀수이고 둘째 자리가 짝수인 경우
그 결과 \(A\cap B\)를 빼야 한다는 것을 확인하고, 전체 후보 \(4\times4=16\)에서 두 조건 모두 만족하지 않는 경우도 역검산했다. 첫째 자리가 짝수인 {2, 4}, 둘째 자리가 홀수인 {3, 5}이므로 \(2\times2=4\)이다.
\(16-4=12\)
처음의 합집합 계산과 같은 값이 나오므로 수정한 식이 원래 조건과 일치한다. 학생에게는 숫자를 계산하기 전에 첫 번째 조건, 두 번째 조건, 동시에 만족하는 조건을 세 줄로 적게 하여 변수와 조건의 관계를 먼저 확인하게 했다.
숫자와 금지 조건을 바꾼 독립 검증
다음 문제로 판단을 다시 확인했다. 첫째 자리 후보는 {2, 4, 6, 8, 9}, 둘째 자리 후보는 {1, 3, 5, 6, 8}이고, 두 숫자는 서로 달라야 한다. 첫째 자리가 짝수이거나 둘째 자리가 5보다 큰 경우를 구한다.
- A: 첫째 자리 짝수이고 두 숫자가 다름: \(5+5+4+4=18\)
- B: 둘째 자리 {6, 8}이고 두 숫자가 다름: \(4+4=8\)
- A와 B의 교집합: 첫째 자리 짝수 {2, 4, 6, 8}, 둘째 자리 {6, 8}에서 같은 숫자를 제외하므로 \(4\times2-2=6\)
따라서 정답은
\(18+8-6=20\)
이다. 전체 서로 다른 두 자리 배열은 \(5\times5-2=23\)개이고, 두 조건을 모두 만족하지 않는 경우는 첫째 자리가 홀수인 9, 둘째 자리가 {1, 3, 5}인 경우뿐이므로 3개이다. 역으로 계산해도 \(23-3=20\)이 되어 첫 판단과 일치한다.