광명동고1수학과외, 행렬 덧셈의 가능 여부를 크기로 먼저 판단하기
광명동의 학교와 주거지 사이 이동 시간은 학생마다 다르다. 명문고등학교·광문고등학교·경기항공고등학교처럼 지역 안의 학교에 다니더라도 귀가 시각과 확보되는 학습 시간이 같지는 않다. 광명역세권5단지나 광명자이더샵포레나1단지 등 생활권에서 학교 프린트를 짧게 복습할 때는 계산보다 앞선 조건 판단을 한 줄로 남기는 연습이 필요하다.
계산보다 먼저 확인해야 하는 행과 열
행렬의 덧셈은 대응하는 위치의 원소를 더하는 연산이다. 따라서 두 행렬의 행의 수와 열의 수가 모두 같아야 한다. 예를 들어
A = [ [2, -1, 3], [0, 4, 5] ], B = [ [1, 6, -2], [3, 0, 7] ]
는 모두 2행 3열이므로
A+B = [ [3, 5, 1], [3, 4, 12] ]
로 계산할 수 있다. 반면 C가 3행 2열 행렬이라면 A+C는 대응하는 원소를 정할 수 없으므로 덧셈 자체가 정의되지 않는다.
답안에서 사라진 한 줄
학교 서술형 풀이에서 학생은 A가 2행 3열, B가 2행 3열인 문제를 보고 조건을 문장으로 쓰지 않은 채 곧바로 원소를 더했다. 계산 결과는 맞았지만, 답안의 첫 줄에는 ‘A와 B의 크기가 같으므로 A+B가 가능하다’는 판단이 없었다. 반대로 크기가 다른 두 행렬이 함께 제시된 문제에서도 같은 방식으로 다음 줄의 계산을 시작하려는 흔적이 나타났다.
이는 원소 계산 방법을 전혀 모르는 상태라기보다, 덧셈 가능 조건을 문제 풀이의 출발점으로 고정하지 못한 상태에 가깝다. 여백에 같은 크기 여부를 표시하지 않았기 때문에 계산할 수 있는 경우와 계산할 수 없는 경우가 구분되지 않았다.
빠진 위치부터 다시 쓰는 수정 과정
다음 두 행렬을 살펴보자.
P = [ [4, 1], [-2, 3], [5, 0] ], Q = [ [7, -1], [2, 6] ]
학생이 P+Q를 계산하려고 했다면, 오답식은 P의 세 번째 행과 대응할 Q의 세 번째 행이 없는 상태에서 계산을 이어 간 것이 된다. 수정할 때는 계산식을 지우는 데서 끝내지 않고, 빠진 판단이 있었던 위치에 다음 문장을 먼저 쓴다.
P는 3행 2열이고 Q는 2행 2열이므로 행의 수가 달라 P+Q는 정의되지 않는다.
그 뒤에는 원소를 더한 행렬을 적지 않는다. 이처럼 ‘크기가 같은가’를 확인한 결과가 불가능이면 계산을 중단하는 것까지가 조건 판단의 완성이다. 크기가 같은 경우에는 R이 m×n, S가 m×n이면 R+S도 m×n이라는 구조를 문장으로 남긴 뒤 대응 위치끼리 계산한다.
문장 속 불필요한 정보와 괄호의 위치
새로운 확인 문제에서는 한 학급의 좌석표를 행렬로 나타냈다고 하자. 색상 설명이나 조사 날짜처럼 행렬 덧셈과 관계없는 정보가 함께 주어져도, 먼저 각 행렬의 크기만 추려야 한다. 예를 들어
X = [ [1, 2, 0], [3, -1, 4] ], Y = [ [5, 0, 2], [-2, 6, 1] ], Z = [ [4, 1], [7, 3] ]
에 대해 (X+Y)+Z를 계산하라는 식은 첫 덧셈 X+Y는 가능하지만, 그 결과는 2행 3열이고 Z는 2행 2열이므로 두 번째 덧셈은 불가능하다. 괄호를 바꾸어 X+(Y+Z)로 써도 Y+Z부터 불가능하므로 식 전체를 계산할 수 없다. 괄호 위치가 달라져도 각 덧셈 단계에서 크기 조건을 확인해야 한다.
이 문제에서 확인할 것은 날짜나 좌석 색이 아니라 세 행렬의 크기와 각 괄호 안 덧셈의 가능 여부다. 조건을 스스로 골라내고, 필요한 계산과 불필요한 정보를 분리하는지 살핀다.
선행 단원보다 현재 조건 판단을 먼저 보완하기
문자식의 괄호 처리나 일차방정식 계산이 아직 흔들리더라도, 이 장면의 직접적인 누락은 행렬의 크기 확인이다. 따라서 중학교 문자식·방정식·그래프 전체를 다시 시작하기보다, 현재 행렬 문제에서 ‘몇 행 몇 열인가’와 ‘두 크기가 같은가’를 표시하는 보완을 먼저 한다. 이후 실제 덧셈 계산에서 부호와 괄호 처리가 반복해서 틀릴 때 필요한 부분만 짧게 되짚는다.
학생이 새로운 문제에서 행렬에 포함된 부가 설명을 제외하고 크기를 먼저 적는지, 괄호 안의 덧셈마다 가능 여부를 문장으로 남기는지를 확인하면 조건 판단이 계산에 연결되었는지 알 수 있다.