관악구고2수학과외

매년 20% 감소에서 밑은 0.2가 아니라 0.8이다

관악구 고2수학과외에서는 같은 관악구 안에서도 봉천동과 신림동의 학교·주거지 거리, 귀가 시간에 따라 풀이를 정리할 수 있는 시간이 다를 수 있다. 그래서 짧은 풀이에서도 지수적 변화의 조건을 먼저 확인하고, 식이 실제 상황을 보존하는지 대입으로 점검하는 과정이 필요하다.

감소율과 남는 비율을 구분한 식

어떤 물질의 양이 처음에 500이고 매년 20%씩 감소한다고 하자. 1년 뒤 남는 양은

500×(1-0.20)=500×0.8

이다. 따라서 t년 뒤의 양은

A(t)=500×0.8^t,   t≥0

로 나타낸다. 지수적 감소에서 밑은 0<0.8<1이어야 하며, 지수가 커질수록 값이 작아진다. 일반적으로 A(t)=A₀b^t에서 A₀>0이고, 증가하려면 b>1, 감소하려면 0<b<1이어야 한다.

0.2^t로 바꾸면 첫 단계부터 상황이 달라진다

풀이 중에 “매년 20% 감소하므로 A(t)=500×0.2^t”라고 적은 경우가 있었다. 0.2는 줄어든 비율이고, 다음 해에 남는 비율이 아니다.

t=1을 대입하면 잘못된 식은 500×0.2=100을 내놓지만, 실제로는 20%인 100만큼 감소한 뒤 400이 남아야 한다. 원래 양의 80%가 남으므로 정확한 식은 500×0.8^t이다. 또한 0.2^t는 매년 원래 양의 20%만 남는 상황을 표현한다.

답안에 밑의 범위와 시간 조건 남기기

재풀이할 때는 문장 속 변화율을 바로 지수에 넣지 않고 다음 순서로 적는다.

감소율 20% → 남는 비율 1-0.2=0.8 → 0<0.8<1 → A(t)=500×0.8^t, t≥0

예를 들어 3년 뒤의 양은

A(3)=500×0.8³=500×0.512=256

이다. 매년 감소하므로 500에서 256으로 줄어드는 결과도 상황과 일치한다.

조건을 바꾼 검산에서 식을 다시 세우기

이번에는 어떤 용액의 양이 처음 800이고 매년 15%씩 감소한다고 하자. 남는 비율은 0.15가 아니라

1-0.15=0.85

이므로 식은 B(n)=800×0.85ⁿ이다. n=1일 때 B(1)=680으로, 처음 양의 85%가 남는다. 만약 800×0.15ⁿ이라고 썼다면 B(1)=120이 되어 15%만 남는 셈이므로, 감소 상황의 식으로 사용할 수 없다.

새 조건에서도 학생이 감소율과 남는 비율을 구별하고, 밑이 0<b<1인지 확인한 뒤 n=1을 대입해 원래 문장과 맞는지 검산하는지를 확인한다.