도형의 누적 넓이와 새로 생기는 넓이 구분하기
관악구 봉천동·신림동에는 당곡고등학교, 남강고등학교, 성보고등학교, 서울문영여자고등학교, 구암고등학교, 영락고등학교 등이 있다. 관악드림타운2단지나 관악현대아파트처럼 생활 위치가 다르면 이동 뒤 공부 시간이 달라질 수 있으므로, 이 학생은 짧은 시간에도 풀이의 중간식을 직접 표시하는 방식으로 학습했다.
누적된 도형 전체를 다시 더한 오답
한 도형에서 첫 단계에 새로 생긴 넓이가 \(9\), 이후 새로 생기는 넓이가 앞 단계의 \(\frac14\)씩이라고 하자. \(n\)번째 단계까지의 전체 넓이를 \(S_n\)이라 하면 학생은 다음과 같이 계산했다.
\(9+(9+9\cdot\frac14)+(9+9\cdot\frac14+9\cdot(\frac14)^2)+\cdots\)
이 식은 잘못된 식이다. 두 번째 괄호의 \(9\)와 세 번째 괄호의 \(9,\,9\cdot\frac14\)는 이미 앞 단계에서 센 넓이이다. 도형의 전체 넓이 \(S_n\)을 매번 새 항처럼 더했기 때문에 같은 부분을 중복 계산했다.
새로 생긴 부분만 등비급수로 정리
매 단계 새로 생기는 넓이를 \(a_n\)이라 두면
\[ a_1=9,\qquad a_n=9\left(\frac14\right)^{n-1} \]
따라서 \(n\)단계까지의 전체 넓이는 새로 생긴 넓이의 합이다.
\[ S_n=\sum_{k=1}^{n}9\left(\frac14\right)^{k-1} =\frac{9\left(1-(\frac14)^n\right)}{1-\frac14} =12\left(1-\left(\frac14\right)^n\right) \]
\(0<\frac14<1\)이므로 \((\frac14)^n\to0\)이고, 전체 넓이의 극한은
\[ \lim_{n\to\infty}S_n=12 \]
이다. 여기서 \(a_n\to0\)이라는 사실은 마지막 한 단계의 넓이가 0에 가까워진다는 뜻일 뿐, 전체 합이 0이라는 뜻은 아니다.
틀린 줄을 표시하고 검산한 과정
- 틀린 줄: \(9+(9+2.25)+(9+2.25+0.5625)+\cdots\)
- 조건 확인: 각 괄호는 누적 전체 넓이이므로 새 항이 아니다.
- 식 수정: \(9+2.25+0.5625+\cdots\)로 바꾼다.
- 계산: \(\frac{9}{1-\frac14}=12\)
- 검산: \(9+2.25+0.5625+0.140625=11.953125\)로 12보다 작고, 항을 더할수록 12에 가까워진다.
초항과 공비를 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 첫 단계의 새 넓이를 \(8\), 다음 단계부터의 비율을 \(\frac13\)으로 바꾼다. 새로 생기는 넓이의 합은
\[ 8+ \frac83+\frac89+\cdots =\frac{8}{1-\frac13} =12 \]
이다. 반면 \(n\)번째 항은
\[ b_n=8\left(\frac13\right)^{n-1}\to0 \]
이므로 항의 극한과 부분합의 극한을 혼동하면 안 된다. 학생은 누적 전체 넓이를 다시 더하지 않고, 새로 추가되는 넓이 \(b_n\)만 한 번씩 세어 정답 \(12\)를 확인했다.