관악구고1수학과외: 한 식에서 인수정리와 나머지정리 구분하기
관악구의 봉천동이나 신림동에서 학교와 귀가 장소 사이의 거리에 따라 확보되는 수학 학습 시간이 달라질 수 있다. 짧은 시간에 다항식 문제를 풀 때에는 계산 속도보다 같은 값 P(a)가 무엇을 의미하는지 구분하는 기록이 먼저 필요하다.
나머지가 0인 순간, 인수라는 결론까지 연결하기
다항식
P(x)=x3-2x2-5x+6
을 x-1로 나눈다고 하자. 나머지정리에 따라 나머지는
P(1)=1-2-5+6=0
이다. 따라서 나머지는 0이고, 인수정리에 의해 x-1은 P(x)의 인수이다. 같은 계산값 0을 얻더라도, 나머지정리는 ‘나머지가 얼마인가’를 말하고 인수정리는 ‘해당 식이 인수인가’를 판단한다.
계산은 맞았지만 결론을 남기지 않은 답안
학교 프린트에서 이 식을 다룬 학생은 P(1)=0을 계산한 뒤, 답안에 0만 적고 다음 문항으로 넘어갔다. 나머지를 구하는 문제라면 계산이 끝났지만, x-1이 인수인지 판단하는 문제에서는 결론이 빠진 상태다. 이는 나머지가 0이라는 사실과 인수정리의 조건을 한 식 안에서 연결하는 기준이 아직 분리되어 있음을 보여준다.
반대로 같은 다항식을 x-2로 나누면
P(2)=8-8-10+6=-4
이므로 나머지는 -4이고, x-2는 인수가 아니다. 나머지가 0일 때만 인수라는 결론으로 이어지며, 모든 나머지가 인수를 뜻하는 것은 아니다.
풀이 앞뒤에 남기는 두 줄
수정할 때에는 계산 전에 다음처럼 조건을 짧게 적는다.
x-a로 나눌 때: 나머지=P(a), P(a)=0이면 x-a는 인수
그 뒤 실제 계산을 진행하고, 계산 후에는 결과에 맞는 결론을 다시 쓴다.
- P(1)=0 → x-1로 나눈 나머지는 0
- 나머지가 0 → x-1은 P(x)의 인수
이 기록은 같은 문장을 반복하는 것이 아니라, 나머지정리의 계산 결과를 인수정리의 판단으로 옮기는 연결 고리다. 나머지가 -4인 경우에는 “x-2는 인수가 아니다”라고 적어 결론의 방향도 확인한다.
식을 다른 순서로 제시해도 조건을 추적하는가
검증용으로 계수와 항의 배열을 바꾼
Q(x)=-6-7x+x2+2x3
을 사용한다. 이는 2x3+x2-7x-6과 같은 식이다. x-2로 나눌 때
Q(2)=-6-14+4+16=0
이므로 나머지는 0이며, x-2는 Q(x)의 인수이다. 이어서 x+3으로 나누면 대입값은
Q(-3)=-6+21+9-54=-30
이므로 나머지는 -30이고 x+3은 인수가 아니다.
항의 배치가 달라져도 먼저 나누는 식을 x-a 꼴로 읽고, 그 뒤 Q(a)를 계산하는지 확인한다. 시간이 부족하면 해당 줄을 표시해 두었다가 계산 후 두 결론을 보완하는 보류·복귀 기준을 적용한다.
결과보다 확인 흔적을 보는 마무리
새 문제에서 0을 계산하고도 인수 표시를 생략한다면 아직 판단이 완성되지 않은 것이다. 반대로 계산 전에는 “나머지=P(a), 0이면 인수”를 적고, 계산 후에는 나머지와 인수 여부를 각각 기록한다면 인수정리와 나머지정리의 조건 차이를 한 식에서 비교하는 절차가 자리 잡았다고 볼 수 있다.