신림동고2수학과외에서 확인한 ‘20% 감소’의 실제 의미
답안에는 “매년 20% 감소하므로 \(P(t)=500\cdot0.2^t\)”라고 적혀 있었다. 하지만 20%는 감소한 양의 비율이고, 다음 해에 남는 양은 \(100\%-20\%=80\%\)이다. 따라서 변화율을 나타내는 밑은 \(0.2\)가 아니라 \(0.8\)이어야 한다.
감소율과 남는 비율을 식으로 바꾸기
어떤 물질의 양이 처음에 \(500\)이고 매년 \(20\%\)씩 감소한다고 하자. \(t\)년 후의 양을 \(P(t)\)라 하면 한 해가 지날 때마다 양은 이전 양의 \(80\%\)가 된다.
\[ P(t)=500(0.8)^t \]
실제로 \(P(1)=500\times0.8=400\), \(P(2)=400\times0.8=320\)이므로 매번 이전 값의 \(20\%\)가 줄어든다. 반면 \(500(0.2)^t\)는 \(t=1\)일 때 \(100\)이 되어 \(80\%\)가 감소한 결과가 된다.
식만 고치는 것이 아니라 그래프의 방향도 읽기
\(0<0.8<1\)이므로 \(P(t)=500(0.8)^t\)는 \(t\)가 증가할수록 감소한다. \(t\)가 계속 커지면 \(P(t)\)는 0에 가까워지지만 0이 되지는 않는다. 따라서 이 함수의 수평점근선은 \(y=0\)이다.
답안에 식만 \(0.8^t\)로 바꾸고 “증가하는 지수함수”라고 적으면 여전히 방향 판단이 맞지 않는다. 학생이 해야 할 일은 \(0.8\)의 뜻을 “매년 남는 양의 비율”이라고 말한 뒤, 그 설명에 맞춰 식과 변화 방향을 함께 확인하는 것이다.
기준량이 남아 있는 경우의 점근선
방과 후 이동 뒤 확보한 자습시간을 기록하면서, 어떤 작업량이 매일 절반씩 줄지만 최소 \(12\)단위의 기준량은 남는다고 하자. 처음 초과량이 \(96\)이라면 \(t\)일 후 전체 양은
\[ Q(t)=12+96\left(\frac12\right)^t \]
이다. \(\left(\frac12\right)^t\) 부분은 감소하므로 \(Q(t)\)도 감소하고, \(t\)가 커질수록 \(12\)에 가까워진다. 이때 점근선은 \(y=12\)이지 \(y=0\)이 아니다. 상수 \(12\)를 빠뜨리면 식의 방향뿐 아니라 도달하려는 값까지 달라진다.
새 조건에서 남는 비율과 점근선을 함께 확인하기
어떤 양이 처음 \(260\)이고 매년 \(15\%\)씩 감소하며, 감소하지 않는 기준량 \(20\)이 있다고 하자. \(t\)년 후의 양을 구하면 남는 비율은 \(0.85\)이므로
\[ R(t)=20+240(0.85)^t \]
이다. \(R(0)=20+240=260\)으로 초기값을 확인할 수 있고, \(0.85\)가 1보다 작으므로 감소한다. 또한 \(t\to\infty\)일 때 \(R(t)\to20\)이므로 수평점근선은 \(y=20\)이다.
이처럼 계수와 기준량이 바뀌어도 먼저 “감소율이 아니라 남는 비율을 쓰는가”를 말로 확인하고, 마지막에 함수의 증가·감소 방향과 점근선을 식과 대조해야 한다. 신림현대아파트나 당곡역 인근에서 방과 후 시간을 나누어 자습하더라도, 이 한 줄의 의미를 설명한 뒤 식을 세우는 습관이 변형문제에서 판단을 지켜 준다.