신림동고1수학과외: 새로운 다항식 표현에서 항등식과 나머지 조건 연결하기
신림동에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 자습시간에는, 나머지정리 문제의 답만 맞히는지보다 식의 구조를 끝까지 유지하는지를 살펴볼 필요가 있다. 특히 새로운 다항식 표현이 등장하면 특정 값 하나를 대입한 뒤 계수 비교를 생략하는 오류가 나타난다.
x=2에서 맞는 식이 항등식 전체를 대신할 수 없는 이유
다항식
P(x)=x3+2x2-5x+4
를 다음과 같이 나타낸다고 하자.
P(x)=(x-3)(x2+ax+b)+cx+d
학생은 먼저 x=3을 대입하여
P(3)=3c+d
라고 적었다. 실제로 P(3)=34이므로 3c+d=34는 맞다. 그러나 이 식은 x=3이라는 한 점에서만 얻은 조건이다. 두 다항식이 모든 x에서 같다는 항등식이라면, 전개한 뒤 같은 차수의 계수를 비교해야 한다.
표현을 전개하면 빠진 조건이 드러난다
오른쪽을 전개하면
(x-3)(x2+ax+b)+cx+d
=x3+(a-3)x2+(b-3a+c)x+(d-3b)
왼쪽의 계수와 비교하여
- a-3=2이므로 a=5
- b-3a+c=-5이므로 b+c=10
- d-3b=4
또한 x=3에서의 나머지 조건은 3c+d=34이다. 위의 계수 조건에서 b+c=10, d=4+3b를 사용하면
3c+d=3(10-b)+(4+3b)=34
가 되어 나머지 조건도 항등식과 일치함을 확인할 수 있다. 따라서 한 점의 대입은 계수 비교를 대신하는 절차가 아니라, 비교한 결과를 나머지정리 관점에서 점검하는 절차다.
학생의 답안에서 실제로 빠진 줄
학생은 x=3을 대입해 3c+d=34를 얻은 뒤, 곧바로 다음 계산으로 넘어갔다. 이 과정에서는 a-3=2, b-3a+c=-5, d-3b=4라는 세 조건이 기록되지 않았다. 현재 상태는 나머지정리의 한 값은 사용할 수 있지만, 새로운 표현이 원래 다항식과 모든 x에서 같아야 한다는 항등식 조건을 함께 운용하지 못하는 단계다.
“x=3에서 성립한다”는 말은 나머지를 확인하는 조건이고, “두 다항식이 같다”는 말은 각 차수의 계수가 모두 같다는 조건이다.
말로 근거를 설명한 뒤 계산하기
풀이를 시작하기 전 학생에게 다음처럼 설명하게 한다.
“주어진 등식은 특정 x에서만 성립하는 식이 아니라 모든 x에 대한 항등식이다. 따라서 먼저 전개하여 계수를 비교하고, x=3을 대입한 나머지 조건은 그 결과가 맞는지 확인하는 데 사용한다.”
그 뒤 실제 답안에는 전개식과 계수 비교를 남긴다. 마지막에는 x=3을 양쪽에 대입하여 왼쪽이 34, 오른쪽이 3c+d임을 확인한다. 이렇게 해야 계산 결과뿐 아니라 어떤 조건을 사용했는지도 드러난다.
표현을 바꾼 문제에서 좌표 검산까지 이어 보기
이전 훈련을 유지할지는 새로운 문제에서 판단한다. 중2 선행 맛보기로 점 A(-3, 2)를 좌표평면에 나타내게 하고, 학생이 먼저 가로축 좌표가 -3, 세로축 좌표가 2임을 말하는지 본다. 이어서 원점에서 왼쪽으로 3, 위로 2 이동한 제2사분면에 점을 표시하게 한다.
A(2,-3)로 잘못 적었다면 좌표의 순서를 바꾸어 읽은 것이다. 식의 한 값만 확인하고 항등식의 계수 조건을 빠뜨렸던 행동이, 좌표에서도 위치 확인 없이 다음 줄로 넘어가는 방식으로 반복되는지 함께 관찰한다. 새로운 표현과 조건에서 근거를 먼저 말하고, 계산이나 표시 뒤에 결과를 검산하면 재현 실패한 문제만 다시 남길 수 있다.