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신림동고3수학과외

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도형의 반복비율을 확인하며 푸는 무한급수

신림동에서 신림고등학교, 남강고등학교, 성보고등학교, 광신고등학교 등으로 통학한 뒤 자습을 시작하는 고3 학생은 하루 뒤 풀이를 다시 볼 때도 이전 문제의 중간식을 먼저 적는 습관이 있었다. 신림현대아파트와 당곡역 주변처럼 이동 동선이 달라지는 날에도 짧은 자습 시간에 풀이의 첫 조건을 다시 확인하는 연습이 필요했다.

도형의 모양보다 반복되는 길이를 먼저 읽기

반지름이 6인 원의 안쪽에 중심이 같은 원을 계속 그리고, 다음 원의 반지름이 바로 앞 원의 2/3이 된다고 하자. 모든 원의 둘레의 합을 구하면 첫째 항은

a1=2π×6=12π

이고 공비는 반지름의 비와 같으므로

r=2/3

이다. 따라서 무한등비급수의 수렴조건 |r|<1을 확인한 뒤

S=12π+12π×2/3+12π×(2/3)2+⋯

S=12π/(1-2/3)=36π

를 얻는다. 원의 둘레를 더하는 문제이므로 각 단계의 반지름에 같은 비율을 적용해야 한다.

기억한 공비를 먼저 쓴 오답

학생은 삼각형 안에 반복해서 도형을 만들던 문제에서 사용한 공비 1/2를 그대로 적었다.

오답: S=12π/(1-1/2)=24π

이 식은 틀렸다. 이번 원의 반지름은 매 단계 2/3배가 되므로 둘레도 2/3배가 된다. 삼각형인지 원인지가 공비를 결정하는 것이 아니라, 문제에서 주어진 두 도형의 크기 관계가 공비를 결정한다.

틀린 줄을 찾아 다시 검산하는 과정

  • 틀린 줄 표시: 공비를 1/2로 둔 부분에 밑줄을 긋는다.
  • 조건 확인: 첫 반지름 6, 다음 반지름 4이므로 반지름의 비는 4/6=2/3이다.
  • 식 수정: 둘레도 반지름에 비례하므로 a2/a1=8π/12π=2/3으로 고친다.
  • 부분합 검산: 처음 세 항은 12π+8π+16π/3=76π/3이다.
  • 역검산: 12π/(1-2/3)=36π이고, 처음 세 항보다 큰 값이므로 무한히 더한 결과로도 자연스럽다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 반지름 5인 원에서 시작하고, 다음 원의 반지름이 이전 원의 3/5가 된다고 하자. 첫째 원의 둘레는 10π이고 공비는 도형의 종류가 아니라 반지름의 관계에서 바로 3/5로 정한다.

S=10π+10π×3/5+10π×(3/5)2+⋯

S=10π/(1-3/5)=25π

학생은 이번에는 이전 예제의 식을 보지 않고 반지름의 범위와 비율을 먼저 표에 적은 뒤, |3/5|<1을 확인하고 합을 계산했다. 숫자와 반복비율이 바뀌어도 첫 항과 공비의 근거를 분리하면 같은 공식을 기계적으로 옮기는 오류를 피할 수 있다.

고등수학과외 수업 시작 안내

신림동고3수학과외를 준비한다면 고등 수학은 해설을 이해하는 것과 학생이 조건을 해석해 풀이를 재현하는 것을 구분하는 데서 출발합니다.

  1. 01

    전화 상담

    학년과 수학 과목·진도, 내신이나 모의고사 중 우선할 목표를 전화 상담에서 알려주세요.

  2. 02

    학생 상태 확인

    계산·풀이 흔적이 남은 문제를 준비해 조건을 놓친 지점, 막힌 개념과 해설에 의존한 단계를 표시해 주세요. 고3은 학교 일정과 수능 준비를 함께 살펴, 남은 시간에 보완할 범위를 정리해 보세요.

  3. 03

    선생님 제안

    현재 단원의 이해와 이전 과정의 공백을 상담에서 듣고 필요한 수학 지도 방향에 맞춰 선생님을 제안합니다.

  4. 04

    수업 조건 확정

    학교 진도, 선택 과목과 평가 일정을 고려해 학습 범위를 논의하고, 시간·횟수·방식·비용을 확인해 주세요.

  5. 05

    첫 수업

    문제의 조건과 풀이 전략을 먼저 설명하고, 각 계산 단계가 무엇을 구하는 과정인지 말해 보세요.

    첫 수업 후 부모님 체크리스트 →

  6. 06

    해설을 덮고 풀이를 다시 구성할 수 있는지 확인하고, 시간 부족과 개념 부족을 나누어 다음 학습에 반영해 주세요.

    고등 수학 학습 진행 기록 예시 →

고등수학과외 선생님 제안·변경

확인할 부분: 조건 해석과 풀이 재현

기본 전화 상담에서 ‘조건 해석과 풀이 재현’ 관련 어려움을 듣고, 학생 상황에 맞춰 선생님을 제안합니다. 원하는 설명 방식과 가능한 시간도 알려주세요.

수업이 맞지 않으면 상담해 주세요

학생과 맞지 않을 경우 선생님 변경이 가능합니다. ‘조건 해석과 풀이 재현’에 관해 도움받고 싶었던 점과 실제 수업에서 불편했던 부분을 알려주시면, 변경할 선생님과 수업 조건을 상담으로 조율합니다.

신림동고3수학과외 수업료 안내

고3 학생의 방문·화상 수업료를 비교해 보세요. 가능한 일정과 필요한 학습 내용을 함께 확인해 수업 조건을 정합니다.

월 수업료 · 주 2회 기준
학년방문 수업화상 수업
고3 (고등)33~50만 원30~46만 원

금액은 회당 수업 시간에 따라 달라집니다. 상담 시 회당 시간, 주당 횟수와 최종 월 수업료를 확인해 주세요.

영어·수학 등 원하는 과목과 현재 학년, 가능한 요일·시간을 알려주시면 구체적인 수업 조건을 상담할 수 있습니다.

수업료 전화 상담

수업에서 달라진 모습

모르는 걸 말하는 힘

새 학기를 앞두고 숙제를 하던 중, 틀린 문제를 표시만 해두고 다시 보지 않는 습관을 선생님께 솔직히 이야기했습니다. 신림동에서 수업을 받으며 선생님은 숙제량을 무리하지 않게 조절하고, 모르는 부분을 편하게 말할 수 있도록 대화를 이끌어 주셨습니다. 요즘은 틀린 문제를 한 번 더 풀어보는 일이 자연스러워졌고, 수학을 대하는 부담도 조금 줄었습니다.

★★★★★

질문이 편해진 수업

예전에는 숙제가 밀려도 수학은 시작하기까지 시간이 오래 걸렸는데, 신림동에서 수업을 받은 뒤에는 집에 오면 먼저 문제집을 펼치는 모습이 보였습니다. 선생님께서 컨디션에 따라 문제 수를 조절하고 핵심만 짚어 주셔서 부담이 줄었고, 답지를 덮은 채 다시 풀어 보며 궁금한 점을 적어 두기도 했습니다. 수업 중 설명을 놓친 부분을 다시 물어보는 일도 한결 편해졌습니다.

★★★★★

먼저 묻게 된 변화

신림동에서 수학과외를 시작한 뒤, 아이가 모르는 문제를 만나도 예전처럼 답만 맞히고 넘어가려 하지 않아 인상적이었습니다. 선생님은 밀린 숙제를 한꺼번에 재촉하지 않고 먼저 볼 문제를 함께 정해 주셨고, 아이가 다시 질문하기 편한 분위기를 만들어 주셨습니다. 시험기간에도 해야 할 복습이 분명해져 수업 후 스스로 책상에 앉는 모습이 보였습니다.

★★★★☆

모르는 걸 말하는 힘

신림동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 학교 행사로 공부 시간이 줄어든 날에도 아이가 모르는 문제를 그냥 넘기지 않고 질문할 내용을 먼저 적어두는 모습이 보였습니다. 선생님은 진도를 무리하게 앞당기지 않고 수업 끝에 그날 복습할 내용을 몇 가지로 정리해 주셨고, 아이도 정해진 시간에 숙제를 시작하기 시작했습니다. 예전처럼 한 문제에 막혀 수학 전체를 포기하지 않는 변화가 특히 반가웠습니다.

★★★★★

질문이 편해진 수업

신림동에서 수학 과외를 시작한 뒤 두세 번 수업을 지켜보니, 아이가 예전처럼 정해 둔 분량 없이 책상에 앉아 있지는 않았습니다. 선생님은 모르는 문제를 말할 때도 부담 없도록 천천히 질문을 이어 가며 아이의 속도에 맞췄고, 수업 전 복습할 내용과 할 일을 함께 정해 주셨습니다. 어느 날은 다음 수업을 기다리며 스스로 복습하는 모습도 보여, 질문할 때 눈치를 덜 보는 변화가 반가웠습니다.

★★★★☆

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