도형의 반복비율을 확인하며 푸는 무한급수
신림동에서 신림고등학교, 남강고등학교, 성보고등학교, 광신고등학교 등으로 통학한 뒤 자습을 시작하는 고3 학생은 하루 뒤 풀이를 다시 볼 때도 이전 문제의 중간식을 먼저 적는 습관이 있었다. 신림현대아파트와 당곡역 주변처럼 이동 동선이 달라지는 날에도 짧은 자습 시간에 풀이의 첫 조건을 다시 확인하는 연습이 필요했다.
도형의 모양보다 반복되는 길이를 먼저 읽기
반지름이 6인 원의 안쪽에 중심이 같은 원을 계속 그리고, 다음 원의 반지름이 바로 앞 원의 2/3이 된다고 하자. 모든 원의 둘레의 합을 구하면 첫째 항은
a1=2π×6=12π
이고 공비는 반지름의 비와 같으므로
r=2/3
이다. 따라서 무한등비급수의 수렴조건 |r|<1을 확인한 뒤
S=12π+12π×2/3+12π×(2/3)2+⋯
S=12π/(1-2/3)=36π
를 얻는다. 원의 둘레를 더하는 문제이므로 각 단계의 반지름에 같은 비율을 적용해야 한다.
기억한 공비를 먼저 쓴 오답
학생은 삼각형 안에 반복해서 도형을 만들던 문제에서 사용한 공비 1/2를 그대로 적었다.
오답: S=12π/(1-1/2)=24π
이 식은 틀렸다. 이번 원의 반지름은 매 단계 2/3배가 되므로 둘레도 2/3배가 된다. 삼각형인지 원인지가 공비를 결정하는 것이 아니라, 문제에서 주어진 두 도형의 크기 관계가 공비를 결정한다.
틀린 줄을 찾아 다시 검산하는 과정
- 틀린 줄 표시: 공비를 1/2로 둔 부분에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: 첫 반지름 6, 다음 반지름 4이므로 반지름의 비는 4/6=2/3이다.
- 식 수정: 둘레도 반지름에 비례하므로 a2/a1=8π/12π=2/3으로 고친다.
- 부분합 검산: 처음 세 항은 12π+8π+16π/3=76π/3이다.
- 역검산: 12π/(1-2/3)=36π이고, 처음 세 항보다 큰 값이므로 무한히 더한 결과로도 자연스럽다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 반지름 5인 원에서 시작하고, 다음 원의 반지름이 이전 원의 3/5가 된다고 하자. 첫째 원의 둘레는 10π이고 공비는 도형의 종류가 아니라 반지름의 관계에서 바로 3/5로 정한다.
S=10π+10π×3/5+10π×(3/5)2+⋯
S=10π/(1-3/5)=25π
학생은 이번에는 이전 예제의 식을 보지 않고 반지름의 범위와 비율을 먼저 표에 적은 뒤, |3/5|<1을 확인하고 합을 계산했다. 숫자와 반복비율이 바뀌어도 첫 항과 공비의 근거를 분리하면 같은 공식을 기계적으로 옮기는 오류를 피할 수 있다.