과천고2수학과외

과천 고2수학과외: 삼각함수 그래프에서 함수식을 복원할 때 확인할 조건

그래프의 한 점을 지나간다는 이유만으로 y=2sin(x-1)을 확정할 수는 없다. 이 식은 진폭, 주기, 평행이동을 모두 임의로 정한 결과이므로 그래프 전체와 일치하는지 확인해야 한다.

한 점이 아니라 그래프의 기준선을 먼저 읽기

어떤 삼각함수 그래프가 다음 특징을 가진다고 하자.

• 최댓값은 5, 최솟값은 -1
• 연속한 두 꼭짓점 사이의 가로 거리는 4
• x=1/2에서 최댓값 5를 가짐

최댓값과 최솟값으로 중심선과 진폭을 계산하면

D=(5+(-1))/2=2, |A|=(5-(-1))/2=3

이다. 따라서 그래프는 중심선 y=2, 진폭 3을 가진다. 주기가 4이므로

T=2π/B=4에서 B=π/2이다.

x=1/2에서 최댓값이므로 사인 함수가 1이 되는 위치를 맞추면

f(x)=3sin((π/2)(x-1/2))+2

로 복원할 수 있다. 실제로

• x=1/2일 때 f(x)=5
• x=3/2일 때 f(x)=2
• x=5/2일 때 f(x)=-1

이므로 그래프의 최댓값, 중심선, 최솟값이 모두 설명된다. 단, 이 식을 사용하려면 그래프가 사인 또는 코사인 형태의 주기함수라는 조건과 축의 눈금이 정확하다는 조건이 먼저 성립해야 한다. 그래프가 특정 구간에만 제시되었다면 그 구간에서의 식인지, 주기적으로 전체 실수에 확장한 식인지도 구분해야 한다.

주기와 진폭을 답안에 남기는 훈련

풀이 중 한 점만 보고 y=2sin(x-1)이라고 쓴 경우에는 식을 바로 고치기보다 다음 네 칸을 먼저 적는다.

□ 중심선 D=____
□ 진폭 |A|=____
□ 주기 T=____, 따라서 B=____
□ 최댓값·최솟값 또는 기준점으로 위상 확인

이 확인을 거치면 함수식은 최소한 y=A sin B(x-C)+D의 네 요소를 갖추게 된다. 한 점은 마지막에 대입하여 위상이나 상수항을 점검하는 데 사용해야 하며, 식 전체를 결정하는 근거가 될 수 없다.

분수 좌표가 섞인 그래프에서 기준 유지하기

새 그래프의 최댓값이 7/2, 최솟값이 -5/2이고, 연속한 두 최댓값의 거리가 6이라고 하자. 또 x=1/4에서 최댓값을 갖는다.

먼저

D=((7/2)+(-5/2))/2=1/2, |A|=((7/2)-(-5/2))/2=3

이며,

2π/B=6에서 B=π/3

이다. 최댓값의 위치까지 반영한 식은

g(x)=3sin((π/3)(x-1/4))+1/2

이다. x=1/4에서 g(x)=7/2이고, x=13/4에서는 한 주기가 지난 뒤 다시 7/2가 된다. 이처럼 정수와 분수가 함께 등장해도 중심선, 진폭, 주기, 기준점의 순서를 유지하면 그래프와 함수식의 일치 여부를 확인할 수 있다.

과천의 부림동·원문동·별양동 등에서 학교 과제와 시험 준비 순서를 점검할 때도 그래프 복원 답안에 이 네 요소가 실제로 남아 있는지 확인하는 것이 유용하다. 식만 맞춰 적은 것이 아니라, 어떤 조건으로 그 식이 성립하는지 설명할 수 있어야 한다.