넓이 조건보다 먼저 확인한 교점의 위치
과천중앙고등학교, 과천고등학교, 과천여자고등학교, 과천외국어고등학교 등 과천의 고3 학생을 지도할 때는 학교명보다 귀가 시각과 과제량에 맞춰 시험 준비 순서를 조정한다. 부림동·원문동·별양동이나 래미안슈르 생활권 학생도 풀이를 시작하기 전 조건을 표시하는 습관이 중요하다.
교점을 빠뜨린 채 넓이부터 계산한 풀이
학생은 다음 문제에서 계산을 먼저 시작했다.
곡선 \(y=x^2-4x\)와 직선 \(y=ax\)가 만드는 도형의 넓이가 \(36\)일 때 \(a\)의 값을 구하여라.
두 그래프의 교점은
\[ x^2-4x=ax \quad\Longrightarrow\quad x(x-a-4)=0 \]
이므로 \(x=0,\ x=a+4\)이다. 그러나 학생은 교점의 두 번째 좌표를 확인하지 않고 다음과 같이 썼다.
\[ \int_0^4\{ax-(x^2-4x)\}\,dx=36 \]
이 식은 오답이다. 오른쪽 경계가 \(4\)로 고정된다는 근거가 없고, 실제 교점은 \(x=a+4\)이기 때문이다. 계산하면 \(a=\frac{17}{6}\)이 나오지만, 이 값을 대입했을 때 두 번째 교점은 \(x=\frac{41}{6}\)이므로 적분 구간과 일치하지 않는다.
변수와 구간을 함께 고정한 수정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 먼저 교점의 관계를 다시 적었다.
\[ x^2-4x=ax\Longrightarrow x=0,\ a+4 \]
\(a+4>0\)인 경우 두 그래프의 차는
\[ ax-(x^2-4x)=x(a+4-x) \]
이고 \(0<x<a+4\)에서 양수이다. 따라서 넓이 조건은
\[ \int_0^{a+4}x(a+4-x)\,dx=36 \]
이다. \(t=a+4\)라고 두면
\[ \int_0^t(tx-x^2)\,dx =\left[\frac{t x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^t =\frac{t^3}{6}. \]
그러므로
\[ \frac{(a+4)^3}{6}=36 \Longrightarrow (a+4)^3=216. \]
넓이와 구간 조건에서 \(a+4>0\)이므로 \(a+4=6\), 따라서
\[ \boxed{a=2} \]
를 얻는다. 실제로 \(y=x^2-4x\)와 \(y=2x\)의 교점은 \(x=0,6\)이고, 구간 \([0,6]\)에서 직선이 곡선 위에 있다. 다시 적분하면
\[ \int_0^6(6x-x^2)\,dx =\left[3x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^6 =108-72=36 \]
이므로 답과 넓이가 모두 일치한다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않도록 다음 문제로 확인했다.
곡선 \(y=x^2-6x\)와 직선 \(y=bx\)가 만드는 넓이가 \(\frac{81}{2}\)일 때 \(b\)의 값을 구하여라.
교점 조건은
\[ x^2-6x=bx\Longrightarrow x=0,\ b+6 \]
이다. \(t=b+6>0\)라 두면 두 함수의 차는 \(x(t-x)\)이고,
\[ \int_0^t x(t-x)\,dx=\frac{t^3}{6}=\frac{81}{2}. \]
따라서 \(t^3=243\), \(t=\,\! \sqrt[3]{243}\)가 아니라 \(t^3=243/2\)로 잘못 읽지 않도록 계산을 점검해야 한다. 실제로
\[ \frac{81}{2}\times6=243,\qquad t=\sqrt[3]{243} \]
이므로 \(t\)는 정수가 아니다. 학생은 문제의 넓이를 \(\frac{81}{2}\)가 아니라 \( \frac{81}{2}\)로 두었을 때 정수 해가 나오지 않음을 확인하고, 조건을 다시 읽었다. 정수 검증용 넓이를 \(\frac{81}{2}\)로 유지하면
\[ b=\sqrt[3]{243}-6 \]
이며, 교점은 \(0,\sqrt[3]{243}\), 넓이는 정확히 \(\frac{81}{2}\)이다. 이 과정에서 넓이값보다 먼저 교점과 구간을 정해야 한다는 원칙을 독립적으로 확인했다.