과천고1수학과외: 겹치지 않는 경우 나누기로 조합 조건 세우기
부림동이나 원문동에서 귀가한 뒤 학교 프린트의 조합 문제를 풀 때, 계산식은 빠르게 적었지만 경우의 기준이 겹치는 장면이 나타날 수 있다. 과천중앙고등학교, 과천고등학교, 과천여자고등학교 등 학교별 과제량과 귀가 시각은 다를 수 있으므로, 짧은 학습 시간에도 경우의 기준과 조건을 먼저 연결하는 연습이 필요하다.
‘적어도 한 명’과 ‘두 명’을 따로 더한 오류
남학생 5명과 여학생 3명 중 3명을 뽑되, 여학생이 적어도 한 명 포함되는 경우를 생각해 보자.
한 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
적어도 한 명의 여학생을 뽑는 경우: 8C3 - 5C3 = 56 - 10 = 46
여학생을 두 명 뽑는 경우: 3C2 × 5C1 = 15
따라서 46 + 15 = 61
첫 번째 계산에 이미 여학생이 정확히 두 명인 경우가 포함되어 있으므로, 두 번째 항을 다시 더하면 중복 계산이 된다. 이 학생은 조건이 추가된 문제에서도 기존 풀이에서 달라지는 줄을 표시하지 않고 바로 계산으로 넘어갔다. 이는 조합 공식을 모르는 모습이라기보다, 분류 기준이 서로 겹치는지 확인하는 절차가 아직 안정되지 않은 상태에 가깝다.
경우를 나눌 때는 여학생 수를 ‘정확히’ 고정한다
겹침을 없애려면 ‘적어도 한 명’이라는 표현을 그대로 경우의 이름으로 사용하지 않고, 여학생 수를 정확히 정한다.
- 여학생 1명, 남학생 2명: 3C1 × 5C2 = 3 × 10 = 30
- 여학생 2명, 남학생 1명: 3C2 × 5C1 = 3 × 5 = 15
- 여학생 3명: 3C3 = 1
세 경우는 한 학생이 동시에 두 경우에 들어갈 수 없고, 여학생이 적어도 한 명인 모든 경우를 빠짐없이 포함한다. 따라서 답은 30 + 15 + 1 = 46이다. 계산 전에 ‘여학생 수가 정확히 몇 명인가’를 적으면, ‘적어도 한 명’과 ‘두 명’처럼 포함관계가 있는 표현을 그대로 더하는 실수를 줄일 수 있다.
조건이 붙으면 어느 경우의 식이 바뀌는가
같은 학생 구성에서 여학생 G1과 G2를 동시에 뽑을 수 없다는 조건을 추가해 보자. 먼저 경우의 경계는 그대로 유지하고, 새 조건이 영향을 주는 항만 표시한다.
- 여학생 1명: 3C1 × 5C2 = 30 — 두 여학생을 동시에 뽑지 않으므로 변화 없음
- 여학생 2명: (3C2 - 1) × 5C1 = (3 - 1) × 5 = 10 — G1, G2를 뽑는 한 가지를 제외
- 여학생 3명: 0 — G1과 G2가 반드시 함께 포함되므로 조건 위반
따라서 조건을 만족하는 조합은 30 + 10 + 0 = 40개다. 답안에는 ‘여학생 수를 정확히 나눔’, ‘G1·G2 동시 선택 제외’, ‘각 경우의 합’이 남아 있어야 한다. 학생이 여백에 이 확인 흔적을 적은 뒤 계산을 이어 가도록 지도한다.
식만 맞는지보다 분류의 근거를 확인하는 서술형 점검
서술형으로 답할 때는 다음 세 부분을 분리해 적는다.
- 식: 3C1×5C2 + (3C2-1)×5C1 + 0
- 근거: 여학생 수를 1명, 2명, 3명으로 나누었으며, G1과 G2를 함께 뽑는 경우를 제외한다.
- 결론: 조건을 만족하는 방법은 40가지이다.
이 세 항목 중 식만 있고 분류 이유가 없다면, 우연히 계산 결과를 맞힌 것인지 판단하기 어렵다. 과천의 학교 프린트와 교과서 문제를 점검할 때에도 답 숫자보다 경우의 이름과 조건의 적용 위치가 일치하는지 확인한다.
조건을 바꾼 문제에서 같은 판단을 다시 세우기
이제 남학생 4명, 여학생 4명 중 4명을 뽑고, 여학생이 2명 이상이며 여학생 G1과 G2를 동시에 뽑지 않는 문제로 바꾼다. 학생이 기존 숫자를 기계적으로 바꾸는지, 먼저 경우를 다시 설정하는지 확인한다.
- 여학생 2명: (4C2 - 1) × 4C2 = 5 × 6 = 30
- 여학생 3명: (4C3 - 4) × 4C1 = 0 × 4 = 0
- 여학생 4명: 0
여학생 3명을 뽑는 경우에는 네 명 중 어느 세 명을 골라도 G1과 G2가 함께 포함된다. 여학생 4명도 마찬가지다. 그러므로 최종 답은 30가지이다. 학생이 ‘정확히 2명, 정확히 3명, 정확히 4명’으로 다시 분류하고, 조건이 바뀐 식에 표시를 남긴 뒤 식·근거·결론을 모두 작성하면 경우 나누기 기준을 새로운 조건에서도 적용한 것으로 확인할 수 있다.