원문동고2수학과외

원문동고2수학과외: 삼각함수 그래프에서 빠진 이동과 부호 찾기

원문동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 과천중앙고등학교·과천고등학교·과천여자고등학교·과천외국어고등학교를 같은 과천시 통학권의 참고 학교로 볼 수 있다. 방과 후 이동 시간을 고려하면, 짧은 자습 시간에도 그래프의 특징을 식으로 옮기는 과정을 정확히 남기는 연습이 필요하다.

한 점만으로 y=2sin(x-1)을 정한 순간

문제의 그래프가 최고점이 3, 최저점이 -1이고, 최고점의 x좌표가 π/2라고 하자. 학생은 그래프의 한 점을 본 뒤 곧바로 y=2sin(x-1)이라고 적었다.

이 식은 그래프의 모든 정보를 반영하지 않는다. 실제 그래프에서 최고점과 최저점으로부터 진폭과 수직이동을 먼저 구해야 한다.

진폭은
|a|=(3-(-1))/2=2
수직이동은
d=(3+(-1))/2=1

따라서 함수는 우선 y=2sin(bx+c)+1의 형태여야 한다. 학생의 식 y=2sin(x-1)은 진폭 2는 맞지만, 수직이동 1을 빠뜨렸고 최고점의 위치를 확인하지 않은 상태에서 위상 이동을 임의로 정한 것이다.

최고점과 중심선을 함께 읽어 식을 세우기

그래프의 중심선이 y=1이고 최고점이 x=π/2에서 나타난다면, 사인 함수가 최댓값을 갖는 기준을 이용해

y=2sin x+1

로 표현할 수 있다. 실제로 x=π/2를 대입하면

y=2sin(π/2)+1=2·1+1=3

이므로 최고점 (π/2, 3)을 지나고, 최솟값은 -1이다. 그래프가 한 주기 동안 최고점에서 최저점으로 내려갔다가 다시 올라오는지까지 확인해야 식을 확정할 수 있다.

풀이 중 처음 어긋난 기호에는 표시를 남긴다. 예를 들어 y=2sin(x-1)에서 빠진 항 +1에 표시하고, 바로 아래에

최대값 3, 최소값 -1 → 중심선 y=1 → y=2sin x+1

을 다시 쓴다. 이후에는 그래프의 한 점만 보는 대신 최대·최소값, 중심선, 한 주기의 길이, 기준점의 위치를 차례로 대조한다.

부호가 바뀐 그래프에서 복원하기

이번에는 라디안 단위의 그래프가 중심선 y=-2, 최댓값 1, 최솟값 -5를 가지며, x=π/2에서 최솟값을 갖는다고 하자.

진폭은

|a|=(1-(-5))/2=3

이고 중심선은 y=-2이다. sin(π/2)=1인데 그 지점에서 최솟값이므로 계수는 음수여야 한다. 따라서 한 가지 식은

y=-3sin x-2

이다. x=π/2를 대입하면 y=-3-2=-5가 되어 최솟값과 일치한다. 계수의 절댓값만 보고 y=3sin x-2라고 쓰면 같은 위치에서 최댓값 1이 나오므로 그래프와 맞지 않는다.

마지막으로 각 단위를 바꾸어 검증한다. 같은 관계를 도 단위로 나타내면 x=90°에서 최솟값을 갖는 식은

y=-3sin(x°)-2

처럼 읽을 수 있다. 단, sin(90)=1로 해석하는 도 단위 표기가 전제되어야 한다. 라디안 식에 도 단위 숫자 90을 그대로 넣으면 전혀 다른 값이 되므로, 축의 단위와 표기법을 먼저 확인해야 한다.