원문동고3수학과외

원문동 통학권 고3 수학과외: 넓이 조건으로 교점의 위치 결정하기

원문동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 과천중앙고등학교·과천고등학교·과천여자고등학교·과천외국어고등학교를 같은 과천시 통학권의 참고 학교로 보았다. 통학 뒤 확보한 자습 시간에는 풀이를 외우기보다 교점과 부호 구간을 다시 세우는 연습이 필요했다.

넓이에서 먼저 찾아야 하는 것은 교점이었다

학생이 해결한 문제는 포물선

y=x²-4x+3

과 직선 y=k가 만드는 도형의 넓이가 32/3일 때 실수 k를 구하는 문제였다. 직선과 포물선의 교점은

x²-4x+3=k

이므로

(x-2)^2}=1+k

이다. 따라서 교점의 x좌표는

x=2-r, 2+r, 단 r=√(1+k)

로 놓을 수 있다. 이때 포물선은 두 교점 사이에서 직선보다 아래에 있으므로 넓이는

A=∫_2-r^2+r{k-(x²-4x+3)}dx

이다. 포물선을 (x-2)²-1로 바꾸면

k-(x²-4x+3)=1+k-(x-2)²=r²-(x-2)²

이므로

A=∫_-r^r(r²-t²)dt=4r³/3

이다. 넓이 조건을 대입하면

4r³/3=32/3 → r³=8 → r=2

이고, r=√(1+k)이므로

1+k=4 → k=3

이다. 교점은 실제로 (0, 3), (4, 3)이며, 두 점 사이에서 직선이 포물선 위에 있으므로 부호와 적분 방향도 일치한다.

학생의 오답과 수정 과정

학생 오답: 이전 문제의 교점이 0, 4였으므로 이번에도 넓이 조건에 관계없이 교점을 0, 4로 두고 k=3이라고 썼다.

이 식은 오답이다. 넓이가 바뀌면 r이 바뀌고, r이 바뀌면 교점 2-r, 2+r도 함께 변한다. 학생은 문제의 조건과 교점을 화살표로 연결하지 않고 직전 숫자를 복사했다.

• 틀린 줄 표시: 교점 x=0, 4를 새 조건에서도 그대로 사용
• 관계 확인: 넓이 A=4r³/3, 교점 x=2±r, r²=1+k
• 식 수정: 주어진 넓이로 r를 먼저 결정한 뒤 k= r²-1 계산
• 검산: k=3을 원식에 대입해 x²-4x=0, 즉 x=0, 4 확인

마지막으로 ∫₀⁴{3-(x²-4x+3)}dx를 계산하면

∫₀⁴(4x-x²)dx=32-64/3=32/3

이므로 넓이 조건까지 정확히 검산된다.

조건을 바꾼 독립 검증

해설을 덮고 포물선 y=x²-4x+3과 직선 y=k가 만드는 넓이가 4/3일 때를 새로 풀었다.

같은 공식에 숫자만 복사하지 않고

4r³/3=4/3 → r=1

로 다시 결정했다. 따라서

1+k=r²=1 → k=0

이고 교점은 (1, 0), (3, 0)이다. 실제 넓이는

∫₁³-(x²-4x+3)dx=∫₁³(-x²+4x-3)dx=4/3

이다. 넓이 기준이 달라지면 교점도 이동한다는 관계를 새로 세워 독립적으로 답을 확인했다.