원문동고1수학과외: 배열 조건에 따라 순열과 조합을 먼저 구분하기
과천시 원문동 주소의 고등학교는 확인되지 않으므로, 과천중앙고등학교·과천고등학교·과천여자고등학교·과천외국어고등학교를 같은 과천시 통학권의 참고 학교로 볼 수 있다. 방과 후 이동 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 계산보다 먼저 배열 문제의 조건을 읽고, 순열과 조합 중 무엇을 선택했는지 한 줄로 남기는 훈련이 효과적이다.
계산보다 먼저 적어야 하는 선택 근거
배열 문제에서 순열은 순서를 바꾸면 다른 경우로 세는 상황이고, 조합은 순서를 바꾸어도 같은 선택으로 보는 상황이다. 따라서 풀이 첫 줄에 다음처럼 적는다.
“먼저 사람을 고르는 단계이므로 조합, 고른 사람을 줄 세우는 단계이므로 순열을 사용한다.”
예를 들어 6명 중 3명을 뽑아 발표 순서까지 정하는 문제라면, 단순히 6P3이라고 쓰기 전에 문제의 구조를 확인해야 한다. 특정 학생 민수가 반드시 포함된다면 나머지 5명 중 2명을 고르는 경우가 먼저이므로
조합: 5C2
배열: 3!
따라서 전체 경우의 수는 5C2 × 3! = 10 × 6 = 60이다. 세 명을 고르는 순서 자체를 세지 않으므로 처음부터 6P3으로 처리하면 민수가 포함되지 않은 경우까지 포함한다.
조건이 바뀌었는데도 같은 공식을 사용한 장면
학교 프린트의 조건이 “5권의 서로 다른 책 A, B, C, D, E를 한 줄로 배열하되 A와 B가 붙지 않게 하라”로 바뀌었을 때, 학생은 조건을 확인한 뒤에도 5!만 적고 120이라고 답했다. 이 계산은 A와 B가 붙는 배열까지 모두 포함하므로 조건을 반영하지 못한 오답이다.
전체 배열은 5! = 120가지다. A와 B가 붙는 경우에는 두 책을 하나의 묶음으로 보고, 묶음과 C, D, E를 배열한 뒤 묶음 안의 순서를 정한다.
4! × 2! = 24 × 2 = 48
그러므로 A와 B가 붙지 않는 배열은
5! − 4! × 2! = 120 − 48 = 72
이다. 학생이 놓친 부분은 계산 능력이 아니라 “붙지 않게”라는 조건을 전체에서 제외할 배열로 바꾸는 판단이었다.
오답 줄을 고친 뒤 남겨야 할 한 문장
틀린 식만 지우면 같은 실수가 반복될 수 있다. 풀이 전에는 “이번 문제에서 순서를 세는 단계와 선택만 세는 단계를 구분한다”고 적고, 풀이 후에는 실제 식 옆에 선택 이유를 다시 기록한다.
- 사람이나 물건을 먼저 고르는가?
- 고른 대상의 순서까지 다른 경우로 세는가?
- 붙음, 포함, 제외 같은 조건을 전체 경우에서 어떻게 처리하는가?
앞의 6명 문제에서는 “민수를 포함한 두 명을 고르는 단계는 5C2, 그 세 명의 발표 순서를 정하는 단계는 3!”이라고 적는다. 5권의 책 문제에서는 “전체 배열에서 A와 B가 붙는 배열을 뺀다”고 남긴다.
새 조건에서 선택 이유를 먼저 말하는지 확인하기
훈련용 문제를 “여학생 3명과 남학생 2명 중 3명을 뽑아 순서를 정한다”로 바꾸었다고 하자. 특정 성별 조건이 없다면 5명 중 3명을 고른 뒤 배열하므로
5C3 × 3! = 10 × 6 = 60
이다. 이때 학생이 바로 5P3을 쓰는지, 아니면 “선발 결과와 발표 순서를 모두 구하므로 조합 후 순열”이라고 먼저 설명하는지를 본다. 조건이 “여학생 2명과 남학생 1명을 반드시 뽑는다”로 바뀌면
3C2 × 2C1 × 3! = 3 × 2 × 6 = 36
으로 달라진다. 조건 변화에 따라 조합을 나누어 적용해야 하며, 이전 문제의 공식을 그대로 옮겨 적어서는 안 된다.
풀이 흔적을 확인하는 방법
같은 문제를 다시 맞힌 것만으로 판단하지 않고, 조건을 바꾼 배열 문제에서 풀이 전과 풀이 후 두 번 선택 이유를 확인한다. 답안에 “조합을 먼저 쓰는 이유”와 “순열을 뒤에 쓰는 이유”가 각각 남아 있어야 하며, 계산 결과만 맞고 근거가 비어 있으면 아직 조건 판단이 자동화된 것으로 보지 않는다.
별도로 중학교 선행 맛보기 문제를 제시할 때는 답을 바로 알려주지 않는다. ‘이항’이라는 용어를 외웠는지보다 2x + 3 = 11에서 양변에 같은 연산을 적용해 2x = 8, x = 4가 되는 이유를 설명하는지 확인한다. 이후 수행평가와 지필평가에서 공통으로 요구되는 조건 읽기와 근거 기록이 실제로 이어지는지도 학습 기록에 남긴다.