부림동 고2수학과외: 삼각함수 그래프에서 식을 복원하는 기준
과천시 부림동에서 통학하며 고등학교 수학을 공부할 때는 학교별 프린트와 시험 문제를 짧은 시간 안에 분석해야 하는 경우가 많다. 특히 삼각함수 그래프 문제는 눈에 보이는 한 점만으로 식을 정하는 순간 오류가 시작된다.
한 점을 지나는 식과 그래프 전체를 나타내는 식은 다르다
예를 들어 어떤 그래프가 점 $(1,0)$을 지난다는 이유로 학생이
y=2\sin(x-1)
이라고 적었다고 하자. 이 식은 실제로 x=1일 때 y=0이므로 해당 점을 지난다. 그러나 점 하나를 지난다는 사실만으로 진폭, 주기, 평행이동이 모두 결정되지는 않는다.
삼각함수의 일반적인 형태를
y=a\sin b(x-c)+d
로 쓰면 그래프에서 다음 정보를 각각 찾아야 한다.
- 최댓값과 최솟값으로 진폭 |a|와 중심선 y=d를 확인한다.
- 최댓값 사이 또는 같은 방향의 영점 사이의 가로 길이로 주기를 확인한다.
- 처음 나타나는 최대점·최소점·상승 영점의 위치로 위상 이동 c를 결정한다.
계산 줄에서 빠진 것은 그래프의 두 번째 기준점이다
그래프의 최댓값이 3, 최솟값이 -1이라면 중심선은
d=\frac{3+(-1)}2=1
이고 진폭은
|a|=\frac{3-(-1)}2=2
이다. 따라서 중심선을 기준으로 위로 시작하는 그래프라면 식은 우선
y=2\sin b(x-c)+1
꼴이어야 한다. 이때 (1,0) 하나만 보고 c=1이라고 정할 수 없다. 실제로 이 점은 중심선 아래에 있으므로, 상승하는 영점인지 하강하는 영점인지 그래프의 방향도 함께 확인해야 한다.
만약 그래프가 (1,0)에서 하강하고, 다음 최솟값이 x=2에서 나타난다면 중심선에서 최솟값까지의 가로 거리는 주기의 1/4이다. 따라서
\frac{T}{4}=2-1=1, T=4
이고
b=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}
가 된다. 이 그래프의 식은 (1,0)에서 하강하는 조건에 맞추어
y=-2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)+1
로 나타낼 수 있다. 실제로 x=1에서 y=1이 되어 이 식은 위의 점을 지나지 않으므로, 하강 영점이라는 해석과 중심선 y=1은 서로 맞지 않는다. 이처럼 그래프에서 읽은 점의 y좌표와 중심선을 먼저 대조해야 한다.
점 (1,0)이 중심선 위에 있으려면 d=0이어야 한다. 같은 조건에서 그래프가 (1,0)을 지나 하강하고 x=2에서 최솟값 -2를 갖는다면
y=-2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)
가 되고, 대입하면 x=1에서 y=0, x=2에서 y=-2이므로 두 조건을 모두 만족한다.
그래프 복원용 답안에는 네 가지 표시를 남긴다
학생이 다음부터는 그래프 옆에 임의로 식을 쓰지 않고, 먼저 다음 항목을 표시하도록 훈련한다.
- 최댓값과 최솟값을 읽어 중심선과 진폭을 계산한다.
- 같은 모양이 반복되는 두 점을 찾아 주기를 구한다.
- 기준점에서 그래프가 상승하는지 하강하는지 화살표로 표시한다.
- 완성한 식에 그래프에서 읽은 점 두 개를 대입한다.
예를 들어 y=-2\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-1)\right)에 x=1,2를 대입하면 각각 0,-2가 나온다. 한 점만 맞는 식을 정답으로 남기지 않고, 방향과 주기까지 함께 확인하는 방식이다.
조건을 바꾼 그래프에서도 기준점을 스스로 찾는가
마지막에는 힌트 없이 다음 조건을 제시한다.
“삼각함수 그래프의 최댓값이 4, 최솟값이 -4이고, x=2에서 상승하며 중심선을 지난다. 같은 방향으로 다시 중심선을 만나는 점이 x=6일 때 함수식을 구하여라.”
최댓값과 최솟값으로 진폭은 4, 주기는 6-2=4가 아니므로 주의해야 한다. 상승하는 중심선 교점에서 다음 상승 중심선 교점까지가 한 주기이므로 T=4, 따라서 b=\frac{\pi}{2}이다. 그러므로
y=4\sin\left(\frac{\pi}{2}(x-2)\right)
가 된다. 이 문제에서 학생이 최댓값만 보고 y=4\sin(x-2)라고 쓰지 않고, 최솟값·반복 간격·상승 방향을 차례로 표시하는지가 그래프 복원 판단이 유지되었는지를 보여준다.