부림동고1수학과외 경우의 수에서 전체 범위로 답 검산하기
과천시 부림동에서 통학하며 학교 과제와 시험 준비를 함께 하는 고1 학생에게 경우의 수는 계산보다 답의 범위를 판단하는 과정이 중요하다. 같은 과천시 통학권의 과천중앙고등학교, 과천고등학교, 과천여자고등학교, 과천외국어고등학교 자료를 참고하더라도 학교별 출제 경향을 단정할 수는 없으므로, 어떤 문항에서든 스스로 결과의 크기를 확인하는 습관이 필요하다.
답이 전체 경우의 수를 넘어선 순간
학교 프린트에 다음 문항이 있었다.
1, 2, 3, 4, 5 중 서로 다른 두 수를 뽑아 두 자리 자연수를 만들 때, 3의 배수는 몇 개인가?
십의 자리와 일의 자리를 순서 있게 정하므로 전체 경우의 수는 5×4=20이다. 3의 배수가 되려면 두 숫자의 합이 3의 배수여야 한다. 가능한 쌍은 {1, 2}, {1, 5}, {2, 4}, {3, ?}가 아니라, 실제로는 {1, 2}, {1, 5}, {2, 4}뿐이다. 각 쌍은 순서를 바꿀 수 있으므로 답은 3×2=6이다.
그런데 학생은 조건에 맞는 조합을 세는 과정에서 {1, 2}, {1, 5}, {2, 4}를 찾은 뒤 순서를 고려하지 않고 3을 적었다. 반대로 다른 풀이에서는 각 숫자를 시작점으로 여러 번 세어 24라고 적었다. 이때 24는 전체 두 자리 수의 개수 20보다 크므로 계산을 계속하기 전에 범위 검산으로 오류를 의심해야 한다.
정답을 얻은 뒤 멈추는 학습 상태
이 학생은 경우의 수를 계산하는 절차 자체는 따라가지만, 답이 가능한 전체 결과 안에 들어가는지 확인하는 항목을 풀이에 남기지 않았다. 답을 6으로 고친 뒤에도 답란에 숫자만 다시 적고, “전체 20가지보다 작으므로 범위 안에 있다”라는 확인을 하지 않았다. 따라서 비슷한 문제에서 중복 계산이 생겨도 오류를 스스로 걸러내기 어려운 상태다.
계산 전에 상한을 먼저 적는 연습
수정할 때는 풀이 맨 위에 전체 경우의 수를 먼저 기록한다. 예를 들어 0, 1, 2, 3, 4, 5에서 서로 다른 세 숫자를 뽑아 만들 수 있는 세 자리 수를 세는 문제라면, 백의 자리에 0이 올 수 없으므로 전체 경우의 수는 5×5×4=100이다. 특정 조건을 만족하는 결과의 수는 반드시 100 이하이어야 한다.
이제 “홀수이면서 3의 배수”인 수를 세어 18이 나왔다면 0≤18≤100인지 먼저 확인한다. 만약 계산 결과가 120이라면 조건을 다시 읽기 전에 중복해서 센 경우가 없는지, 각 자리 선택에서 이미 사용한 숫자를 또 사용하지 않았는지 점검한다. 범위 검산은 정답을 대신 정하는 과정이 아니라 잘못된 계산을 즉시 좁히는 장치다.
부분 결과와 전체 결과를 함께 비교하기
경우를 나누어 셀 때에는 각 부분의 합도 전체 상한과 비교한다. 주사위 두 개를 던져 눈의 합이 8 이상인 경우는 합이 8, 9, 10, 11, 12일 때이므로 가능한 순서쌍은 각각 5, 4, 3, 2, 1개이고 전체는 15개다. 전체 순서쌍은 6×6=36개이므로 15는 36을 넘지 않는다.
학생이 5+4+3+2+1을 16으로 계산했다면 전체 범위는 맞지만 부분 합산에서 산술 오류가 난 것이다. 반대로 40이라고 썼다면 36보다 큰 답이므로 산술 계산만 고칠 것이 아니라, 합의 조건에 해당하지 않는 경우를 포함했거나 같은 순서쌍을 중복했는지 찾아야 한다.
조건을 바꾼 새 문항에서 확인하기
훈련 뒤에는 처음 문항을 그대로 반복하지 않고 다음 문제를 제시한다.
0, 1, 2, 4, 6에서 서로 다른 세 숫자를 골라 세 자리 짝수를 만들 때, 전체 경우의 수와 비교하여 답의 범위를 확인하라.
백의 자리는 0이 될 수 없고, 일의 자리는 짝수여야 한다. 일의 자리가 0이면 백의 자리 4개, 십의 자리 3개로 12가지이고, 일의 자리가 2, 4, 6 중 하나이면 각각 백의 자리 3개, 십의 자리 3개로 9가지씩이다. 따라서 조건을 만족하는 수는 12+9+9+9=39개다.
이 문제의 전체 세 자리 수는 4×4×3=48개이므로, 학생이 계산 전에 48을 적고 마지막에 39≤48을 확인하는지 본다. 시험 후 처음 보는 유사문제에서도 답지를 찾기 전에 전체 경우의 수를 먼저 계산하고, 수행평가에서 받은 ‘중복 여부와 답의 범위를 확인하라’는 피드백을 새로운 계산·자료·설명 문제에 적용하면 이 검산 행동이 실제 풀이 습관으로 자리 잡았다고 판단할 수 있다.