부림동고3수학과외

부림동 고3 수학과외, 교점과 넓이 조건에서 구간을 다시 확인하는 풀이

과천시 부림동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 과천중앙고등학교·과천고등학교·과천여자고등학교·과천외국어고등학교를 같은 과천시 통학권의 참고 범위로 보았다. 통학과 과제가 겹치는 고3 학생에게는 계산 속도보다 풀이 조건을 짧게 기록하는 습관이 중요하다.

접점 좌표를 먼저 찾지 않아 생긴 오답

학생은 매개변수 a가 포함된 함수와 x축 사이의 넓이를 구하는 문제에서 다음 함수를 만났다.

y=x²-2ax,   a>0

그래프와 x축의 교점은

x²-2ax=x(x-2a)=0

이므로 x=0, x=2a이다. 따라서 넓이는 a의 값에 따라 적분구간도 함께 바뀐다. 학생은 이 관계를 적지 않고 넓이를 32/3으로 두면서 다음과 같이 계산했다.

오답: ∫₀⁴(2ax-x²)dx=32/3

8a-64/3=32/3이므로 a=4

이 식은 잘못된 오답이다. 상한 4는 문제에서 주어진 고정값이 아니라 교점 x=2a에서 나온 값이어야 한다. 학생이 a=4를 얻으면 실제 교점은 x=0과 x=8이 되므로, 처음 사용한 구간 [0,4]와도 일치하지 않는다.

오답 줄에서 변수와 구간의 관계를 표시하기

• 틀린 줄 표시: ∫₀⁴(2ax-x²)dx
• 조건 확인: x축과의 교점은 x=0, 2a이므로 적분구간은 [0,2a]이다.
• 부호 확인: 0<x<2a에서 x(x-2a)<0이므로 넓이는 −f(x)=2ax−x²로 계산한다.
• 식 수정: ∫₀^2a(2ax-x²)dx=32/3

수정한 식을 계산하면

∫₀^2a(2ax-x²)dx=[ax²-x³/3]₀^2a=4a³/3

따라서

4a³/3=32/3,   a³=8

이고 a>0이므로 a=2이다. 접점은 실제로 x=0, 4이며, 원함수에 대입하면 f(0)=0, f(4)=16-16=0이다. 넓이도

∫₀⁴(4x-x²)dx=32/3

으로 원조건과 일치한다. 학생은 답안에 ‘실수’라고만 쓰지 않고, “a가 바뀌면 교점 2a와 적분구간도 바뀐다”라고 실패 지점을 문자로 남겨야 한다.

계수가 달라진 문제로 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않고 다음 문제에 적용했다.

y=x²-3bx,   b>0와 x축이 만드는 넓이가 36일 때 b를 구하라.

교점은 x=0, 3b이고, 구간 안에서 함수가 음수이므로

36=∫₀^3b(3bx-x²)dx

이다. 계산하면

∫₀^3b(3bx-x²)dx=9b³/2

이므로 9b³/2=36, b³=8, 따라서 b=2이다. 마지막으로 접점 x=6을 원함수에 넣으면 36-36=0이고, 구간 [0,6]에서 함수의 부호가 음수인지 확인해 적분식의 부호까지 검산했다.