sin x의 기본해를 사분면과 범위로 끝까지 확인하는 별양동 고2수학과외
답안에는 sin x = 1/2에서 x = π/6만 남아 있었다. 계산 자체는 맞지만, 0 ≤ x < 2π라는 범위에서 사인값이 양수인 제1사분면과 제2사분면을 모두 확인하지 않은 풀이였다. 따라서 빠진 해는 5π/6이다.
π/6 하나로 끝내면 안 되는 이유
sin x = 1/2의 기준각은 π/6이다. 사인은 y좌표와 관련된 값이므로 양수인 제1·제2사분면에서 해가 생긴다.
제1사분면: x = π/6
제2사분면: x = π - π/6 = 5π/6
따라서
0 ≤ x < 2π에서 sin x = 1/2의 해는 x = π/6, 5π/6이다.
각의 범위를 먼저 읽지 않고 결과 계산부터 하면 기준각 하나만 적고 나머지 해를 놓치기 쉽다. 과천고등학교의 학교 프린트나 지필평가에서 범위가 함께 제시된 삼각방정식이라면, 기준각을 구한 뒤 반드시 부호와 사분면을 연결해야 한다. 별양동 내 학교와 과천시 내 참고 학교의 학습 일정은 다를 수 있지만, 이 판단 과정은 특정 학교의 출제 경향을 가정하지 않고 답안에서 직접 확인할 수 있다.
기호의 뜻을 말로 바꾸고 식을 고치기
풀이 중간에 다음 한 문장을 먼저 말하게 한다.
“사인값이 양수인 사분면은 제1사분면과 제2사분면이다.”
그 설명에 맞춰
sin x = 1/2, 기준각 π/6
x = π/6 또는 π - π/6 = 5π/6
처럼 한 줄을 수정한다. 이때 5π/6을 단순히 외워 더하는 것이 아니라, 제2사분면의 각을 π - 기준각으로 표현해야 범위가 바뀌어도 적용할 수 있다.
부등식에서는 경계각과 포함 범위까지 확인하기
같은 판단을 다음 문제에 적용한다.
0 ≤ x ≤ 2π에서 sin x ≥ 1/2를 풀어라.
sin x가 1/2 이상인 구간은 기준각 π/6과 5π/6 사이이다. 양 끝에서는 sin x = 1/2이므로 등호가 포함된다.
해: π/6 ≤ x ≤ 5π/6
여기서 x = π/6과 x = 5π/6을 방정식의 두 해로만 적는 것과, 그 사이의 모든 각을 부등식의 해로 표현하는 것은 다르다. 방정식은 경계각을 찾고, 부등식은 그래프의 부호와 구간을 함께 읽어야 한다.
새 계수에서도 사분면 판단을 유지하는지 확인
마지막으로 다음 식을 별도로 제시한다.
0 ≤ x < 2π에서 2sin x - 1 = 0을 풀어라.
먼저 계수를 정리하면
sin x = 1/2
이고, 기준각은 π/6이다. 사인값이 양수인 제1·제2사분면을 확인하면
x = π/6, 5π/6
이다. 이때 답안에 기준각만 적지 않고, 0 ≤ x < 2π 범위와 두 사분면을 표시했는지를 확인한다. 계수가 붙은 식에서도 정리 후 곧바로 하나의 각만 쓰지 않고, 부호·사분면·범위의 순서로 판단하면 기본해를 빠뜨리는 오류를 줄일 수 있다.