별양동고1수학과외: 행렬의 크기와 곱셈 가능 여부 정확히 읽기
과천고등학교 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 다루다 보면 행렬 계산보다 먼저 확인해야 할 정보가 있다. 바로 각 행렬의 행 수와 열 수다. 별양동고1수학과외에서는 계산을 시작하기 전 행렬의 크기를 표시하는 습관을 통해 행과 열을 뒤바꾸어 읽는 오류를 줄인다.
계산 전에 붙여야 하는 크기 표시
행렬의 크기는 행의 개수 × 열의 개수로 나타낸다. 예를 들어
A = [ [1, 2, 0], [3, -1, 4] ]
는 가로로 3개의 성분이 있는 행이 2개이므로 A의 크기는 2×3이다. 반면
B = [ [2, 1], [0, -2], [5, 3] ]
는 행이 3개이고 각 행에 성분이 2개이므로 B의 크기는 3×2이다. 행렬을 세로로 읽은 개수를 먼저 세어 열의 수로 착각하거나, 열의 개수를 행의 수로 적으면 곱셈 가능 여부부터 잘못 판단하게 된다.
두 행렬의 모양을 바꾸어 읽은 실제 오답
한 풀이에서는 A를 3×2, B를 2×3이라고 적은 뒤 “A의 열 2개와 B의 행 2개가 같으므로 AB가 가능하다”고 판단했다. 이는 학생이 행렬의 크기를 먼저 기록하지 않고 곧바로 연산을 시작하면서 생긴 오류다. 실제로는 A가 2×3, B가 3×2이므로 AB는 가능하고 결과는 2×2 행렬이다.
곱셈에서 확인할 것은 왼쪽 행렬의 열 수와 오른쪽 행렬의 행 수다. 일반적으로 A가 m×n, B가 n×p이면 AB가 가능하며 결과의 크기는 m×p이다. 따라서 이 문제에서는
(2×3)(3×2) → 2×2
라고 판단한다. 반대로 BA는 (3×2)(2×3)이므로 가능하지만 결과는 3×3이다. 두 곱 모두 가능하더라도 결과 행렬의 크기는 서로 다르다.
오답표에 빠진 판단을 풀이 안으로 옮기기
수정할 때는 문제 옆 여백에 다음처럼 적는다.
- A: 2×3
- B: 3×2
- AB: 안쪽 차원 3과 3이 같으므로 가능, 결과는 2×2
- BA: 안쪽 차원 2와 2가 같으므로 가능, 결과는 3×3
그 뒤 실제 계산을 진행한다. 예를 들어 AB의 왼쪽 위 성분은 A의 첫째 행과 B의 첫째 열을 곱해 더하므로
1×2 + 2×0 + 0×5 = 2
이다. 계산 결과가 2×2 형태로 나오는지도 마지막에 확인한다. 크기 표시 없이 숫자 계산만 맞힌 경우에는 행과 열을 정확히 읽었다고 판단하지 않는다.
짧은 학습시간에도 먼저 남길 한 줄
별양동에서 과천고등학교 학생의 주간 일정이 학교별 내신 준비와 겹칠 때는 긴 풀이보다 문제마다 크기 표시를 남기는 훈련이 효율적이다. 특히 행렬 곱셈 한 문제를 풀 때마다 계산 전에 “왼쪽 열 수 = 오른쪽 행 수인가?”를 적게 하면, 오답표에서 누락된 판단 단계를 눈에 보이게 복원할 수 있다.
숫자가 바뀐 문제에서 판단이 유지되는지 확인
다음 문제에서는
C = [ [4, -1], [2, 3], [0, 5] ], D = [ [1, 2, 0], [-2, 1, 4] ]
를 제시하고 바로 계산하지 않게 한다. C는 3×2, D는 2×3이므로 CD는 가능하고 결과는 3×3이다. 학생이 숫자에 의존하지 않고 행과 열을 직접 세어 이 판단을 설명하는지 확인한다.
또한 DC도 2×3과 3×2의 곱이므로 가능하며 결과는 2×2이다. 표현이 AB에서 CD로 바뀌어도 “왼쪽의 열 수와 오른쪽의 행 수를 비교하고, 바깥쪽 수로 결과 크기를 정한다”는 같은 개념으로 묶어 설명한다면, 행렬의 모양을 독립적으로 읽고 있는 것으로 기록한다.