겹치는 조건을 먼저 확인한 합의 법칙 풀이
별양동에서 과천고등학교에 다니는 학생은 주간 일정에 맞춰 내신 문제를 풀이하면서 경우의 수 단원을 점검했다. 같은 과천시의 과천중앙고등학교, 과천여자고등학교, 과천외국어고등학교는 참고 학교로만 구분하고, 학교별 운영을 하나의 경향으로 단정하지 않은 채 학생의 실제 풀이 과정에 집중했다.
더한 값이 그대로 정답이 되지 않는 이유
학생은 1부터 60까지의 자연수 중에서 3의 배수 또는 일의 자리 숫자가 5인 수의 개수를 구하는 문제를 풀며 다음과 같이 적었다.
3의 배수: 20개
일의 자리 숫자가 5인 수: 6개
따라서 20+6=26
이 식은 오답이다. 두 조건을 동시에 만족하는 수가 있기 때문에 두 집합이 서로 겹치지 않는다. 실제로 일의 자리가 5이면서 3의 배수인 수는 15와 45로 2개이다. 따라서 합의 법칙을 그대로 적용하면 이 두 수를 두 번 세게 된다.
조건을 집합으로 나누면
A={3의 배수}, B={일의 자리 숫자가 5인 수}
이고,
|A|=20, |B|=6, |A∩B|=2
이다. 그러므로 전체 개수는
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=20+6-2=24
이다.
오답 줄을 표시하고 조건을 다시 읽은 과정
- 틀린 줄 표시: 20+6=26
- 조건 확인: ‘또는’은 두 조건 중 하나 이상을 뜻하며, 두 조건을 동시에 만족하는 수가 있는지 먼저 확인한다.
- 식 수정: 20+6-2=24
- 검산: 3의 배수 중 일의 자리가 5인 15와 45를 목록에서 한 번만 세어 전체 수를 다시 확인한다.
학생은 이후 선택 순서가 있는 상황과 단순히 조건별 대상을 합치는 상황도 구분했다. 예를 들어 상의 4벌과 하의 3벌 중 하나씩 고르는 경우에는 선택이 연속으로 이루어지므로 4×3=12이다. 반면 같은 대상을 두 조건으로 분류하는 문제에서는 곱의 법칙이 아니라 겹침 여부를 확인한 뒤 합의 법칙을 사용해야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
학생은 같은 문제를 반복하지 않고 범위를 바꾸어 다음 문제를 풀었다.
1부터 80까지의 자연수 중 4의 배수 또는 일의 자리 숫자가 2인 수의 개수
4의 배수는 80÷4=20개, 일의 자리 숫자가 2인 수는 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72로 8개이다. 두 조건을 동시에 만족하는 수는 12, 32, 52, 72의 4개이므로
20+8-4=24
이다. 조건의 범위와 숫자를 바꾸어도 먼저 겹치는 경우를 찾고, 중복된 부분을 한 번 빼야 한다는 원칙이 유지되는지 확인했다.