경기광주고2수학과외에서 확인한 삼각방정식의 해 확장
태전동에서 학교 프린트와 주간 문제를 함께 정리하던 중, 삼각방정식의 값을 구하는 과정은 따라오지만 새로운 식에서 주기성을 적용하는 순간 풀이가 끊겼다. 초월고등학교, 광남고등학교, 태전고등학교 등 학교별 일정과 문항 표현은 다를 수 있어, 특정 학교의 출제 경향으로 단정하기보다 식이 바뀌어도 해를 확장하는 판단을 확인하는 데 초점을 맞췄다.
cos x=0에서 π/2 하나만 남긴 이유
변형 문제에서 학생은 다음과 같이 적었다.
cos x=0 ⟹ x=π/2
π/2는 한 기본해일 뿐 전체 해가 아니다. 코사인 함수는 주기가 2π이고, 한 주기 안에서 cos x=0이 되는 각은 π/2와 3π/2이다. 따라서 실수 전체에서의 해는
x=π/2+nπ (n∈ℤ)
이다. 즉, 기본해를 찾은 뒤 함수의 주기 또는 같은 값을 만드는 두 각의 관계를 이용해야 한다. 학생의 답안에서 빠진 것은 계산 결과가 아니라 해를 전체 구간으로 확장하는 단계였다.
부호가 바뀌어도 기본해와 주기를 먼저 분리하기
예를 들어 다음 방정식을 보자.
2cos x+1=0
먼저 계수를 정리하면
cos x=-1/2
한 주기 0≤x<2π에서 기본해는 2π/3, 4π/3이다. 코사인의 주기가 2π이므로 전체 해는
x=2π/3+2nπ 또는 x=4π/3+2nπ (n∈ℤ)
처럼 써야 한다. 식의 계수와 부호가 달라졌다고 해서 직전 문제의 각을 그대로 옮길 수 없다. 먼저 삼각함수의 값으로 바꾸고, 한 주기 안의 기본해를 찾은 다음 주기를 붙이는 순서가 필요하다.
오류를 지우기 전에 답안 여백에 “기본해 하나를 전체 해로 착각하여 주기 확장을 빠뜨렸다”라고 적게 했다. 그 뒤 cos x=0의 풀이에서 π/2+nπ를 덧붙이고, 왜 주기가 π처럼 표현되는지 cos(x+π)=-cos x 관계까지 확인했다. 단순히 정답을 다시 베끼지 않고, 빠진 단계만 찾아 수정하게 한 것이다.
부등식에서는 경계와 주기 구간을 함께 기록하기
같은 판단이 부등식에서도 유지되는지 확인하기 위해
sin x≥1/2
를 제시했다. 한 주기 0≤x≤2π에서는
π/6≤x≤5π/6
이고, 전체 해는
π/6+2nπ≤x≤5π/6+2nπ (n∈ℤ)
이다. 여기서는 등호가 포함되므로 두 경계각을 모두 포함해야 한다. 이전처럼 각 하나만 적거나 주기를 누락하면 부등식의 해 전체를 표현하지 못한다.
새 표현에서도 주기 확장이 남아 있는지 확인
마지막으로 다음 문제를 별도로 풀게 했다.
1-2sin x=0, -π≤x≤π
식은 sin x=1/2가 되므로 일반해는 x=π/6+2nπ 또는 x=5π/6+2nπ이다. 주어진 범위에 맞추면 해는
x=π/6, 5π/6
이다. 이번에는 먼저 기본해를 적고, 일반해에 주기 2π를 붙인 뒤 범위 밖 값을 제거했다. 계수와 부호가 달라진 식에서도 오류 원인을 먼저 문장으로 밝히고, 기본해·주기·범위 확인을 차례로 남겼다면 주기성을 실제 풀이에 적용한 것으로 판단할 수 있다.