경기광주 고3수학과외, 식으로 제시된 배열에서 순열의 기준 세우기
초월고등학교, 경화여자고등학교, 광남고등학교, 태전고등학교 등 경기광주 지역의 고3 학생들은 학교별 내신 일정과 주간 학습 시간이 다르므로, 문제를 많이 푸는 것보다 풀이 기준을 유지하는 연습이 중요하다. 이번 학생은 그래프 없이 식과 조건만 제시된 배열 문제에서 직전 문제의 숫자 배치를 그대로 옮기는 실수가 반복되었다.
서로 다른 원소인지 먼저 확인하기
학생이 처음 푼 문제는 서로 다른 7개의 기호를 일렬로 배열하는 경우의 수였다.
학생의 오답: 7! = 5040
이 계산은 서로 다른 원소 7개를 배열할 때는 맞다. 그러나 다음 문제에서는 기호가 반복되었다.
기호 A, A, B, C, C, D, E를 모두 사용하여 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라.
학생은 앞 문제의 숫자 배치를 복사하여 다시 7! = 5040이라고 적었다. 하지만 A 두 개와 C 두 개는 서로 구별되지 않는다. A를 서로 다른 두 물체처럼 세면 같은 배열을 두 번 세고, C도 두 번 세므로 중복 계산이 발생한다.
따라서 정확한 식은
효과적인 배열 수 = 7! ÷ (2!×2!) = 5040÷4 = 1260
이다. 여기서 분모의 2!은 반복된 A 두 개, 또 다른 2!은 반복된 C 두 개의 순서를 바꾸어도 같은 배열로 보는 조건에서 나온다.
틀린 줄을 표시하고 조건을 식으로 바꾸기
학생은 풀이 노트에서 7!에 밑줄을 긋고, 그 옆에 다음 세 가지를 적었다.
- 전체 기호의 개수: 7개
- 같은 기호: A가 2개, C가 2개
- 같은 기호끼리 위치를 바꾸어도 새 배열이 아님
그 뒤 일반 순열 식 7!에서 반복된 원소의 중복을 제거하는 식으로 수정했다. 계산 후에는 A와 C를 임시로 A1, A2, C1, C2처럼 구별하면 5040가지가 나오고, 각 실제 배열이 2!×2!=4번씩 세어진다는 역계산도 확인했다.
1260×4=5040이므로 수정한 식이 처음의 구별된 배열 수와 정확히 연결된다. 또한 A와 C의 이름을 바꾸어도 새로운 배열로 세지 않는지 몇 개의 배열을 직접 적어 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음에는 기호와 금지조건을 모두 바꾸어 같은 기준을 적용했다.
X 3개와 서로 다른 문자 A, B, C, D, E를 일렬로 배열하되 X끼리는 서로 이웃하지 않게 하는 방법의 수를 구하여라.
먼저 A, B, C, D, E를 배열하면 5!가지이다. 이 다섯 문자 사이와 양끝에는 X를 놓을 수 있는 여섯 개의 틈이 생긴다.
_ A _ B _ C _ D _ E _
X끼리 이웃하지 않으려면 여섯 틈 중 서로 다른 세 틈을 골라야 하므로
5!×6C3 = 120×20 = 2400
이다. X 세 개는 같은 원소이므로 다시 3!로 나누지 않는다. 학생은 표현이 식에서 틈 배열로 바뀌었지만, 먼저 원소의 동일 여부와 금지조건을 확인한 뒤 경우의 수를 세어야 한다는 기준을 유지해 정답을 얻었다.