경기광주고1수학과외에서 익히는 행렬 곱셈의 가능 조건
태전동, 초월읍, 경안동 등 경기광주시의 학교생활은 학교별 수업과 주간 일정에 따라 다를 수 있지만, 행렬 단원에서 먼저 확인할 수학적 기준은 동일하다. 두 행렬의 곱셈 가능 여부는 숫자를 계산하기 전에 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수를 비교하여 판단한다.
계산보다 먼저 적어야 하는 두 숫자
행렬 \(A\)가 \(m\times n\), 행렬 \(B\)가 \(p\times q\)라면 \(AB\)가 정의되기 위한 조건은 \(n=p\)이다. 즉, 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 한다. 곱셈이 가능할 때 결과 \(AB\)의 크기는 \(m\times q\)가 된다.
예를 들어
\[ A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&4&5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2\\-2&0\\3&-1\end{pmatrix} \]
에서 \(A\)는 \(2\times3\), \(B\)는 \(3\times2\) 행렬이다. 앞 행렬의 열 수 3과 뒤 행렬의 행 수 3이 같으므로 \(AB\)는 가능하고, 결과는 \(2\times2\) 행렬이다.
같은 위치끼리 곱한 오답이 놓친 것
학교 프린트 풀이에서 학생은 두 행렬의 크기를 비교하지 않은 채 첫째 행과 첫째 열의 같은 위치 원소를 곱해 결과를 만들었다. 예를 들어 위 행렬을 보고
\[ AB=\begin{pmatrix}2\cdot1&-1\cdot2\\0\cdot(-2)&4\cdot0\end{pmatrix} \]
처럼 작성했다. 이는 행렬 곱셈이 아니라 일부 원소를 위치별로 곱한 것이다. 행렬 곱셈에서는 결과의 한 칸이 앞 행렬의 한 행과 뒤 행렬의 한 열을 연결한 내적으로 정해진다.
따라서 정확한 계산은
\[ AB= \begin{pmatrix} 2\cdot1+(-1)\cdot(-2)+3\cdot3& 2\cdot2+(-1)\cdot0+3\cdot(-1)\\ 0\cdot1+4\cdot(-2)+5\cdot3& 0\cdot2+4\cdot0+5\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13&1\\ 7&-5 \end{pmatrix} \]
이다. 학생의 오류는 계산 부호보다 앞서, 행과 열을 연결해야 한다는 곱셈 구조를 사용하지 않은 데 있다.
풀이 첫 줄에 남기는 조건 표시
이 유형에서는 계산을 시작하기 전 다음처럼 크기를 적는다.
\[ (2\times3)(3\times2)\quad\Rightarrow\quad 3=3,\ \text{곱셈 가능},\quad 결과:2\times2 \]
그다음 결과 행렬의 각 위치를 정한다. \((1,2)\) 성분은 \(A\)의 1행과 \(B\)의 2열을 곱해 더하므로 \(2\cdot2+(-1)\cdot0+3\cdot(-1)=1\)이다. 이처럼 결과의 위치를 먼저 정하고 해당 행과 열을 연결하면 같은 위치 원소를 곱하는 방식으로 돌아가기 어렵다.
부호와 절댓값을 따로 확인하는 연습
내적 계산에서는 곱의 크기와 부호를 분리해 기록한다. 예컨대 첫째 행과 첫째 열의 계산은
\[ 2\cdot1+(-1)\cdot(-2)+3\cdot3 \]
이며, 절댓값 계산은 \(2, 2, 9\), 부호를 반영한 항은 \(2,+2,+9\)가 되어 합은 13이다. 음수가 포함된 새로운 행렬에서도 먼저 각 곱의 절댓값을 확인하고, 이어 부호를 붙인 뒤 더하는 순서를 유지한다.
표현이 달라진 문제에서 확인할 기준
교과서 대신 학교 프린트에 다음과 같이 제시된 경우를 살펴본다.
\[ C=\begin{pmatrix}-3&2\\1&4\\0&-2\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}2&-1&0\\5&3&-2\end{pmatrix} \]
학생이 풀이 시작 전에 \(C:3\times2\), \(D:2\times3\), \(2=2\), 결과 \(3\times3\)을 스스로 표시하는지 확인한다. 이후 각 성분을 행과 열의 내적으로 계산하고, 음수 항의 절댓값과 부호를 분리해 처리한다. 조건 표시 없이 바로 같은 위치 원소를 곱하거나, 결과를 \(2\times2\)로 예상한다면 행렬의 크기 관계를 아직 독립적으로 적용하지 못한 것이다.