태전동고2수학과외

태전동고2수학과외: 삼각방정식의 해는 각의 범위 안에서 완성된다

태전고등학교처럼 태전동에서 통학하며 학교 프린트와 지필평가를 함께 준비할 때는 삼각함수의 일반해를 구하는 것보다, 문제에서 정한 각의 범위에 맞춰 해를 남기는 판단이 중요하다. 태전아이파크와 태전동성원아파트 생활권에서 이동 후 과제를 처리하는 상황에서도 풀이 마지막의 범위 확인이 빠지면 계산한 해가 그대로 오답이 된다.

일반해를 구한 뒤 범위를 적용해야 하는 이유

다음 방정식을 0≤x<2π에서 풀어 보자.

sin x = 1/2

사인값이 양수인 제1사분면과 제2사분면에서 기준각은 π/6이므로 일반해는

x=π/6+2kπ 또는 x=5π/6+2kπ  (k∈ℤ)

이다. 그러나 문제의 범위는 한 바퀴 전체가 아니라 0≤x<2π이다. 따라서 k=0일 때의 두 값만 범위 안에 남는다.

x=π/6, 5π/6

여백에 남은 일반해가 답을 바꾼 순간

풀이 여백에는 다음과 같은 답이 적혀 있었다.

잘못된 줄: x=π/6+2kπ 또는 5π/6+2kπ, k∈ℤ

수정한 줄: x=π/6+2kπ 또는 5π/6+2kπ, k=0

달라진 부분은 k의 범위다. k∈ℤ로 두면 2π 이상이거나 음수인 해까지 포함되어 제한된 각 범위를 벗어난다. 일반해는 중간 과정으로는 맞지만, 최종 답에는 반드시 주어진 구간을 대입해 걸러야 한다.

부등식에서는 경계각과 포함 여부까지 확인한다

이번에는 조건이 달라진 문제를 사용한다.

cos x≤1/2,   0≤x<2π

cos x=1/2가 되는 경계각은 π/3과 5π/3이다. 코사인이 1/2 이하인 구간은 그 사이이므로

π/3≤x≤5π/3

이다. 등호가 포함된 부등식이므로 두 경계각도 답에 포함된다. 풀이를 가린 상태에서 학생이 먼저 “cos x의 부호가 음수인 제2·제3사분면만 답”이라고 쓰는지 확인하면, 기준값 1/2와 경계 포함 조건까지 새 문제에 적용하는지 알 수 있다.

답안에는 다음 세 줄을 고정해서 남긴다.

1. 주어진 각의 범위: 0≤x<2π
2. 경계각: cos x=1/2에서 x=π/3, 5π/3
3. 부등호와 등호의 포함 여부: π/3≤x≤5π/3

이 순서를 지키면 일반해를 적은 뒤 범위 밖 값을 방치하는 실수가 줄어든다. 삼각방정식과 부등식의 최종 답은 계산한 식이 아니라, 주어진 각의 범위와 부호 조건을 모두 만족하는 값이어야 한다.