태전동 고3수학과외, 중복을 허용할 때 순열식이 달라지는 이유
태전동에서 태전고등학교로 통학하며 과제와 시험을 함께 준비하는 고3 학생은 풀이 시간을 줄이려다 순서가 있는 선택 문제마다 일반 순열 공식을 먼저 적는 습관을 보였다. 이동 중 복습한 문제에서도 중복 가능 여부를 확인하지 않아 같은 오류가 반복되었다.
처음 풀이에서 드러난 공식 선택 오류
학생이 푼 문제는 다음과 같다.
숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허용하여 네 자리 수열을 만들 때, 가능한 수열의 개수를 구하여라.
각 자리마다 5개를 독립적으로 고를 수 있으므로 정답은
5 × 5 × 5 × 5 = 54 = 625
이다. 그러나 학생은 다음과 같이 적었다.
5P4 = 5 × 4 × 3 × 2 = 120
이 식은 틀렸다. 5P4는 네 자리에 서로 다른 숫자만 배치하는 경우를 세므로, 숫자 1이 네 번 나오는 수열이나 2가 두 번 나오는 수열을 제외한다. 문제에서는 중복을 허용했으므로 각 자리의 선택 수가 줄어들지 않는다.
틀린 줄을 표시하고 조건에 맞게 수정하기
- 오류 표시: 5P4
- 조건 확인: 네 자리의 순서는 구분되며, 각 자리에서 같은 숫자를 다시 선택할 수 있다.
- 식 수정: 5 × 5 × 5 × 5 = 54
- 대입 검산: 1111, 1211, 3335처럼 중복된 수열이 포함되는지 확인한다.
경계값도 대입했다. 한 자리만 만들면 5개이므로 51 = 5이고, 두 자리면 11부터 55까지 중복을 포함해 52 = 25개이다. 반면 일반 순열을 적용하면 5P2 = 20개가 되어 11, 22, 33, 44, 55가 빠진다. 이 비교를 통해 중복 허용 조건에서는 nPr이 아니라 nr을 사용해야 함을 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음 문제로 같은 공식을 반복하지 않고 검증했다.
0, 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허용하여 세 자리 문자열을 만들되, 첫 자리는 0이 아니게 할 때 가능한 문자열의 개수를 구하여라.
첫 자리에는 0을 제외한 5개, 둘째와 셋째 자리에는 각각 6개를 선택할 수 있으므로
5 × 6 × 6 = 180
이다. 여기서 101, 242처럼 중복된 문자열은 허용되지만 012는 첫 자리가 0이므로 제외된다. 학생은 순서를 반대로 생각해도 각 자리의 조건을 다시 확인한 뒤 6 × 6 × 5 = 180으로 계산했고, 원래 조건을 바꿔도 중복 허용과 첫 자리 제한을 분리해야 한다는 점을 검산했다.
태전동 지역 내 고등학교로 확인되는 태전고등학교와 통학 생활권의 과제 시간을 고려하면, 짧은 풀이에서도 먼저 순서, 중복, 자리별 제한을 표시하는 습관이 중요하다. 공식보다 변수와 조건의 관계를 먼저 확인해야 같은 유형의 오답을 줄일 수 있다.