태전동고1수학과외 행렬 곱의 결과 크기부터 판단하기
태전고등학교 수업과 통학, 과제가 겹치는 시기에는 행렬 계산을 빠르게 끝내려는 과정에서 곱셈의 구조를 놓치기 쉽다. 특히 태전동에서 귀가 후 짧은 시간에 학교 프린트를 정리할 때는 계산에 들어가기 전에 결과 행렬의 크기를 먼저 예상하는 습관이 필요하다.
계산 전에 정해지는 결과의 모양
행렬 곱 Am×nBn×p가 가능하려면 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 한다. 곱의 결과는 m×p 행렬이 된다. 가운데의 n은 곱셈 가능 여부를 결정하고, 바깥쪽의 m과 p가 결과의 행과 열을 결정한다.
예를 들어
A = [[1, -2, 0], [3, 4, 5]], B = [[2, 1], [-1, 3], [4, 0]]
에서 A는 2×3, B는 3×2 행렬이다. 따라서 AB는 계산 전부터 2×2 행렬이어야 한다.
같은 위치끼리 곱하면 결과 크기부터 어긋난다
실제 풀이에서 학생은 A와 B의 같은 위치 원소를 곱해
[[1×2, (-2)×3, 0×4], [3×1, 4×(-1), 5×0]]
처럼 적었다. 이는 행렬 곱의 계산이 아니라 대응하는 위치 원소의 곱에 가깝고, 결과도 2×3 형태라서 앞에서 예상한 2×2와 맞지 않는다.
행렬 곱에서는 A의 한 행과 B의 한 열을 연결한다. 따라서 AB의 첫 번째 원소는 A의 첫째 행과 B의 첫째 열의 내적이다.
- (1, 1): 1×2 + (-2)×(-1) + 0×4 = 4
- (1, 2): 1×1 + (-2)×3 + 0×0 = -5
- (2, 1): 3×2 + 4×(-1) + 5×4 = 22
- (2, 2): 3×1 + 4×3 + 5×0 = 15
그러므로
AB = [[4, -5], [22, 15]]
이다. 각 칸의 위치를 정할 때는 결과 행 번호를 A의 행에서, 결과 열 번호를 B의 열에서 가져온다.
답안에 남겨야 하는 판단
계산 첫 줄에 2×3 · 3×2 → 2×2라고 적으면 결과의 모양을 미리 고정할 수 있다. 그다음 결과의 네 칸을 각각 “A의 행 × B의 열”로 계산한다. 계산을 마친 뒤에는 결과가 실제로 2행 2열인지 세어 보고, 각 칸에 세 항의 곱과 합이 들어갔는지도 확인한다.
이 과정을 통해 현재 상태가 단순히 예제의 숫자를 기억하는 것인지, 행렬의 차원과 내적 구조를 이해한 것인지 구별할 수 있다. 같은 숫자를 다시 계산해 맞히는 것보다 행렬의 배치가 바뀌었을 때도 결과 크기를 먼저 말하는지가 더 분명한 확인 방법이다.
배치가 바뀐 변형에서 확인하기
다음과 같이 조건을 바꾼다.
C = [[2, 0], [-3, 1], [4, 5]], D = [[1, -2, 3], [0, 4, -1]]
C는 3×2, D는 2×3이므로 CD의 크기는 3×3이다. 첫 번째 행은 C의 첫째 행 [2, 0]과 D의 각 열을 연결한다.
- 첫째 행 첫째 열: 2×1 + 0×0 = 2
- 첫째 행 둘째 열: 2×(-2) + 0×4 = -4
- 첫째 행 셋째 열: 2×3 + 0×(-1) = 6
이처럼 숫자와 행렬의 배치가 달라져도 먼저 3×2 · 2×3 → 3×3을 적고, 각 결과 칸에서 마주 보는 행과 열을 추적해야 한다. 풀이 뒤에는 교사의 질문 없이 결과 크기를 예상했는지, 그리고 어디서 막혔는지를 한 문장으로 적게 한다. 예를 들어 “결과 열을 정할 때 뒤 행렬의 열을 찾는 과정에서 막혔다”처럼 작성하면 계산 오류가 발생한 위치가 분명해진다.