탄벌동고2수학과외에서 확인하는 삼각방정식의 범위 판별
“정답은 π/3인데, 왜 뒤에 +2kπ를 붙여야 하나요?”라는 질문에서 풀이가 멈췄다. 반대로 일반해를 적은 뒤 0≤x<2π 조건을 확인하지 않아 범위 밖 값까지 답에 남기는 경우도 있었다. 탄벌동우림아파트 등 생활권에서 학교까지 이동한 뒤 수행평가와 지필평가를 함께 준비해야 하는 상황에서는, 마지막 답만 고치는 습관보다 계산 중 어느 줄에서 해가 누락되거나 추가되었는지 확인하는 과정이 필요하다.
sin x=√3/2에서 범위 조건이 하는 일
다음 삼각방정식을 보자.
sin x=√3/2, 0≤x<2π
기준각은 π/3이다. 사인값이 양수인 제1사분면과 제2사분면을 모두 확인해야 하므로
x=π/3 또는 x=2π/3
가 된다. 일반해로 쓰면
x=π/3+2kπ 또는 x=2π/3+2kπ
이지만 문제의 조건은 모든 실수 해를 요구하는 것이 아니다. 0≤x<2π 안에 들어오는 값만 남겨야 한다. 따라서 k=0일 때의 π/3, 2π/3만 답이며, k=1을 대입한 값은 범위를 넘는다.
범위 밖 일반해를 남긴 계산 줄
답안에 x=π/3+2kπ, 2π/3+2kπ만 적었다면 삼각방정식의 일반해로서는 맞지만, 제한된 구간의 해로는 완성되지 않았다. 특히 k가 임의의 정수라는 뜻을 설명하지 않은 채 식만 남기면, 문제에서 요구한 구간 판별이 빠진다.
이때 식 전체를 다시 계산하지 않고, 0≤x<2π를 “x가 0 이상이고 2π보다 작은 값만 허용된다”라고 말한 다음 한 줄을 다음처럼 바꾼다.
π/3+2kπ 또는 2π/3+2kπ → 0≤x<2π에서 x=π/3, 2π/3
이 한 줄에는 기준각, 사인값의 부호에 따른 두 사분면, 그리고 주어진 범위에 따른 해 제거가 함께 드러난다. 마지막 값만 수정하는 대신 어느 기호가 어떤 범위를 뜻하는지 말로 확인해야 해 누락 지점을 찾을 수 있다.
숫자를 바꾼 검산: cos x=-1/2
같은 설명을 외운 것인지 확인하기 위해 조건을 바꾼다.
cos x=-1/2, 0≤x<2π
코사인값이 음수인 제2사분면과 제3사분면을 선택하고 기준각은 π/3이므로
x=2π/3, 4π/3
이다. x=π/3은 코사인값이 양수이므로 답이 될 수 없다. 또한 0과 2π는 이 식의 해가 아니며, 조건에서도 2π는 포함되지 않는다.
새 문제에서도 먼저 구간을 말로 해석하고, 부호에 맞는 사분면을 고른 뒤, 구한 각을 0≤x<2π에 직접 대입해 남긴 값만 답으로 적는다면 제한된 각 범위의 판단이 계산 줄에 남는다.