탄벌동고1수학과외, 행×열로 행렬 곱셈 계산하기
탄벌동에서 학교와 귀가 후 과제를 함께 챙겨야 하는 고1 학생에게 행렬 곱셈은 계산 속도보다 대응 관계를 놓치지 않는 것이 먼저다. 같은 광주시 통학권의 초월고등학교, 경화여자고등학교, 광남고등학교, 태전고등학교, 곤지암고등학교 등을 참고하더라도 학교별 출제 경향을 단정할 수는 없지만, 학교 프린트와 교과서 문제에서 행렬의 크기와 곱셈 순서를 확인하는 과정은 공통적으로 필요하다.
같은 위치끼리 곱한 결과가 왜 행렬곱이 아닌가
다음 두 행렬을 계산한다고 하자.
A = \(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}\), B = \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\)
A는 2×3 행렬이고 B는 3×2 행렬이다. 따라서 A의 열 수 3과 B의 행 수 3이 같으므로 AB가 가능하며, 결과는 2×2 행렬이 된다.
그런데 문제 풀이에서 학생은 같은 위치의 원소를 곱해
\(\begin{pmatrix}2\cdot1 & (-1)\cdot2 & 3\cdot3 \\ 0\cdot(-2) & 4\cdot0 & 5\cdot(-1)\end{pmatrix}\)
처럼 적었다. 이 방식은 행렬의 크기부터 2×3 형태로 남기 때문에 AB의 결과가 2×2라는 사실과 맞지 않는다. 행렬 곱셈에서는 대응하는 행과 열의 원소를 곱한 뒤 모두 더해야 한다.
각 칸은 행 하나와 열 하나의 내적이다
AB의 첫 번째 행, 첫 번째 열에 들어갈 값은 A의 첫째 행과 B의 첫째 열을 연결한다.
\(2\cdot1+(-1)\cdot(-2)+3\cdot3=2+2+9=13\)
첫째 행, 둘째 열은 다음과 같다.
\(2\cdot2+(-1)\cdot0+3\cdot(-1)=4+0-3=1\)
둘째 행도 같은 방식으로 계산한다.
\(0\cdot1+4\cdot(-2)+5\cdot3=7\),
\(0\cdot2+4\cdot0+5\cdot(-1)=-5\)
그러므로
AB = \(\begin{pmatrix}13&1\\7&-5\end{pmatrix}\)
가 된다. 계산 전에 “앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같은가”, 계산 중에는 “결과의 이 칸은 어느 행과 어느 열을 연결하는가”를 표시하면 같은 위치 원소 곱셈으로 빠지는 것을 막을 수 있다.
행렬의 크기를 먼저 쓰고 계산 순서를 고정하기
탄벌동우림아파트 등 생활권에서 이동한 뒤 짧은 시간에 학교 과제를 처리할 때는 식을 보자마자 숫자를 곱하기보다 다음처럼 크기를 적는다.
- A: 2×3, B: 3×2
- 안쪽 수 3과 3이 같으므로 AB 가능
- 바깥쪽 수 2와 2가 결과의 크기
- 결과의 각 칸을 ‘A의 한 행 × B의 한 열’로 계산
이 절차는 공식을 외우는 방식이 아니라 결과 행렬의 위치를 추적하는 방법이다. 특히 두 행렬의 원소 수가 같아 보여도 크기가 2×3과 3×2라면 같은 위치끼리 곱할 수 없다는 점을 분명히 해야 한다.
계산 세트에서 확인할 것은 정답보다 근거
시간 제한을 둔 짧은 계산 세트에서는 한 문항에 오래 머물러 같은 숫자를 반복해서 곱하지 않도록 한다. 행렬의 곱셈 가능 여부와 결과 크기를 먼저 적은 뒤, 막히면 표시하고 다음 해결 가능한 문항으로 이동한다. 풀이를 확인할 때도 결과 숫자만 비교하지 않고 “이 값은 어느 행과 어느 열의 내적인가?”를 말하게 한다.
예를 들어 위 행렬에서 7을 설명할 때 “A의 둘째 행 \((0,4,5)\)과 B의 첫째 열 \((1,-2,3)\)을 곱해 더한 값”이라고 말할 수 있어야 한다. 이 설명이 빠지고 숫자 7만 맞혔다면 계산 절차가 아직 안정되었다고 보지 않는다.
수치가 바뀐 문항에서 행×열 대응을 다시 확인하기
검증에서는 같은 행렬을 재풀이하지 않고 다음 문제를 제시한다.
C = \(\begin{pmatrix}-1&2\\3&0\\4&-2\end{pmatrix}\), D = \(\begin{pmatrix}2&1&-3\\0&4&5\end{pmatrix}\)
C는 3×2, D는 2×3이므로 CD는 가능하고 결과는 3×3이다. 시간 제한 안에 바로 답을 요구하지 않고, 막힌 문항은 보류한 뒤 다음 문제로 이동하는지 관찰한다. 이후 선택한 한 칸을 근거와 함께 설명하게 한다.
예를 들어 CD의 셋째 행, 둘째 열은 C의 셋째 행 \((4,-2)\)와 D의 둘째 열 \((1,4)\)를 대응시켜
\(4\cdot1+(-2)\cdot4=-4\)
로 계산한다. 학생이 결과의 크기 3×3을 먼저 판단하고, 이처럼 행과 열을 정확히 지목해 계산한다면 조건이 바뀐 문항에서도 행×열 대응을 스스로 적용한 것으로 기록할 수 있다.