탄벌동고3수학과외

중복순열에서 첫 조건을 놓치지 않는 풀이

탄벌동에서는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 광주시의 초월고등학교·경화여자고등학교·광남고등학교·태전고등학교·곤지암고등학교 등을 통학권 참고 자료로 볼 수 있다. 이동과 과제가 늘어나는 고3 수학에서는 답만 맞히는 것보다 조건이 처음 적용된 줄을 추적하는 습관이 중요하다.

첫 번째 자리의 조건을 식에 반영하기

학생은 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 중복해서 사용할 수 있을 때 만드는 네 자리 번호를 풀었다. 단, 첫 자리는 1이 될 수 없는 문제였다.

첫 자리: 2, 3, 4, 5 중 4가지
둘째·셋째·넷째 자리: 각각 5가지

그런데 학생은 첫 조건을 따로 적지 않고 다음과 같이 계산했다.

오답: 4⁴ = 256

이 식은 네 자리 모두에서 선택지가 4개라고 본 것이므로 틀렸다. 실제로는 첫 자리만 4가지이고, 나머지 세 자리는 숫자 1을 포함한 5가지가 가능하다. 따라서 중복순열의 동일한 선택 수를 무조건 적용할 수 없으며, 자리별 조건을 먼저 확인해야 한다.

틀린 줄부터 다시 확인한 과정

• 첫 오답 줄에 밑줄: 4⁴에서 첫 번째 4를 표시한다.
• 조건 확인: 첫 자리에는 1을 사용할 수 없어 4가지, 나머지 자리에는 5가지임을 표로 적는다.
• 식 수정: 4⁴를 4×5×5×5로 바꾼다.
• 검산: 첫 자리를 2, 3, 4, 5 중 하나로 고정하면 뒤 세 자리는 각각 5가지이므로 4×125=500이다.

따라서 정답은 4×5³=500이다. 학생은 오답을 단순히 ‘계산 실수’라고 쓰지 않고, 조건이 처음 빠진 지점을 표시해 중복순열 적용 가능 여부를 판단해야 한다.

선택 수가 같은지 바꿔 검증하기

이번에는 숫자 2, 4, 6, 8로 중복 없이 세 자리 짝수를 만드는 문제를 확인했다. 첫째 자리에는 4가지, 둘째 자리에는 3가지, 셋째 자리에는 2가지가 남으므로 선택 수가 같지 않다.

4×3×2=24

이 문제는 중복이 허용되지 않아 4³으로 계산할 수 없다. 자리마다 가능한 수가 줄어드는지, 같은 숫자를 다시 사용할 수 있는지를 먼저 표시하면 중복순열과 순열을 구별할 수 있다.