초월읍 고2수학과외에서 확인하는 인수분해형 삼각식의 해와 주기
초월역을 오가는 평일 일정 속에서 학교 프린트와 지필평가 문제를 함께 정리할 때, 삼각방정식은 계산보다 인수분해 뒤의 각 경우를 빠짐없이 확인하는 과정이 중요하다. 특히 초월고등학교의 시험 범위에 삼각함수의 방정식과 부등식이 함께 포함되면, 계수나 부호가 바뀐 문제에서도 기본해와 주기를 다시 세워야 한다.
sin x를 빠뜨리면 해의 절반이 사라진다
라디안 단위에서 다음 식을 구간 0≤x<2π에서 풀어 보자.
sin x(2cos x−1)=0
곱이 0이므로 두 경우를 모두 나눈다.
- sin x=0이면 x=0, π
- 2cos x−1=0이면 cos x=1/2이므로 x=π/3, 5π/3
따라서 해는 0, π/3, π, 5π/3이다. 재풀이에서 2cos x−1=0만 처리하면 π/3, 5π/3만 남는데, 이는 첫 번째 인수인 sin x가 0이 되는 경우를 누락한 오답이다. 인수분해는 한 인수만 선택하는 절차가 아니라 각 인수를 0으로 놓는 분기 과정이다.
주기는 식의 모양이 바뀌어도 다시 확인한다
sin x=0의 일반해는 x=nπ이고, cos x=1/2의 일반해는 x=2nπ±π/3이다. 제한된 구간에서는 이 일반해에서 해당 범위의 값만 골라야 한다. 계수가 바뀌었다고 해서 이전 문제의 각을 그대로 옮기거나, 한 주기 안의 해 개수를 임의로 줄이면 안 된다.
풀이가 끝난 뒤에는 각 해를 원래 인수분해식에 대입한다. 예를 들어 x=π에서는 sin π=0이므로 전체 곱이 0이고, x=5π/3에서는 2cos(5π/3)−1=2·1/2−1=0이므로 역시 식을 만족한다. 이렇게 어느 인수에서 0이 되었는지 역으로 확인하면 누락 여부를 발견할 수 있다.
부호가 뒤집힌 부등식에서 구간을 다시 읽기
새 조건으로 다음 부등식을 살펴보자.
sin x(2cos x−1)≤0, 0≤x≤2π
경계가 되는 각은 π/3, π, 5π/3이며, 양 끝점 0, 2π에서도 곱은 0이다. 각 구간에서 두 인수의 부호를 확인하면 다음과 같다.
- (0,π/3): 양수·양수이므로 곱은 양수
- (π/3,π): 양수·음수이므로 곱은 음수
- (π,5π/3): 음수·음수이므로 곱은 양수
- (5π/3,2π): 음수·양수이므로 곱은 음수
따라서 정답은 [π/3,π]∪[5π/3,2π]이다. 부등호가 ≥로 바뀌면 포함되는 구간이 반대로 선택된다. 삼각함수 그래프의 방향이나 식의 부호가 바뀐 문제에서는 이전 답을 옮기지 말고, 영점과 각 구간의 부호를 새로 표시해야 한다.
초월역 생활권의 짧은 복습에도 남겨야 할 한 줄
학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 복습할 때는 문제 수보다 풀이의 흔적을 남기는 것이 효과적이다. 인수분해형 삼각식에서는 다음 세 줄을 답안에 고정해 둔다.
① 각 인수를 0으로 분리한다.
② 일반해에 주기를 적용해 구간 안의 각을 고른다.
③ 선택한 해를 원래 곱에 대입해 0이 되는 인수를 확인한다.
계수와 부호를 바꾼 문제에서도 이 순서를 혼자 적용하고, 부등식에서는 추가로 영점 사이의 부호를 검사한다면 기본해 누락과 구간 반전 오류를 함께 줄일 수 있다.