초월고등학교 고3 수학과외: 원순열의 기준을 다시 세우는 배열 풀이
초월읍에서 초월고등학교에 다니는 학생은 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 고려해 수학 문제를 풀고 있다. 최근에는 원순열 문제에서 조건이 하나 추가되면 기존 식에 기호만 바꾸는 습관 때문에 풀이가 자주 멈췄다.
원형 배열에서는 회전 중복을 먼저 제거한다
8명이 원탁에 앉을 때 특정 두 사람 A, B가 이웃하고, 또 다른 두 사람 C, D는 이웃하지 않는 경우를 구해 보자.
학생은 처음에 다음과 같이 적었다.
오답: 2·7! - 2·6!
이 식은 일렬 배열처럼 계산한 식이므로 틀렸다. 원탁에서는 전체 회전을 같은 배열로 보아야 하므로, 단순히 7!이나 6!을 사용할 수 없다. A와 B를 하나의 묶음으로 보면 묶음 1개와 나머지 6명을 원탁에 배치하므로 원순열은 (7-1)!이고, A와 B의 순서는 2가지이다.
먼저 A, B가 이웃하는 배열은
2·(7-1)! = 2·6! = 1440
이다. 여기서 C, D까지 이웃하는 경우를 빼야 한다. 두 쌍을 각각 묶으면 묶음 2개와 나머지 4명, 총 6개 단위를 원탁에 배치하므로
2·2·(6-1)! = 4·5! = 480
이다. 따라서 조건을 모두 만족하는 배열은
2·6! - 4·5! = 1440 - 480 = 960
이다.
틀린 줄을 표시하고 역계산으로 확인하기
학생은 해설을 바로 찾지 않고 풀이 옆에 두 식을 나란히 적었다.
- 틀린 식: 2·7! - 2·6!
- 수정 식: 2·(7-1)! - 2·2·(6-1)!
그다음 ‘원탁인가, 일렬인가’, ‘묶음의 개수는 몇 개인가’, ‘각 묶음 내부의 순서는 몇 가지인가’를 차례로 확인했다. 마지막으로 수정된 결과 960에서 제외된 경우 480을 더하면 전체 A, B 이웃 배열 1440이 되는지 역계산했다. 또한 960은 1440보다 작고, C와 D가 이웃하지 않는 조건을 추가했으므로 전체보다 작아야 한다는 범위 검산도 진행했다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 9명이 원탁에 앉고, P와 Q는 이웃하며 R과 S는 이웃하지 않는다고 하자.
P, Q를 묶은 전체 경우는
2·(8-1)! = 2·7! = 10080
R, S도 이웃하는 경우는 두 묶음과 나머지 5명을 합친 7개 단위를 원탁에 배치하므로
2·2·(7-1)! = 4·6! = 2880
따라서 독립 검증의 답은
10080 - 2880 = 7200
이다. 학생은 이번에는 원순열의 기준인 ‘단위 수에서 1을 뺀 factorial’을 먼저 표시한 뒤, 묶음 내부 순서와 제외 조건을 따로 계산해 혼자 검산을 끝냈다.