초월읍고1수학과외, 행렬 등식에서 대응 원소로 방정식 세우기
초월고등학교 프린트에서 행렬의 미지수를 구하는 문제를 풀 때는 숫자 계산보다 먼저 두 행렬의 같은 위치를 비교해야 한다. 초월역을 이용해 귀가한 뒤 짧은 시간에 복습하더라도, 문제의 식에서 무엇이 주어졌고 무엇을 구해야 하는지 분리하는 과정이 빠지면 계산을 맞히기 어렵다.
행렬 전체를 계산하기 전에 위치를 맞춘다
예를 들어 다음 등식이 주어졌다고 하자.
2A + B = C
여기서
A = [ [x, 3], [−2, y] ], B = [ [4, −1], [5, 2] ], C = [ [10, 5], [1, 14] ]
행렬의 크기가 모두 같으므로 같은 위치의 원소끼리 등식이 성립한다. 따라서 첫째 행 첫째 열, 첫째 행 둘째 열, 둘째 행 첫째 열, 둘째 행 둘째 열을 각각 비교해야 한다.
- 첫째 행 첫째 열: 2x + 4 = 10
- 첫째 행 둘째 열: 2·3 − 1 = 5
- 둘째 행 첫째 열: 2·(−2) + 5 = 1
- 둘째 행 둘째 열: 2y + 2 = 14
미지수가 들어 있는 식만 골라 풀면 2x + 4 = 10에서 x = 3, 2y + 2 = 14에서 y = 6이다. 숫자가 있는 위치를 먼저 계산하는 것이 아니라, 미지 원소가 어느 위치에 있는지 표시한 뒤 대응하는 위치의 식을 만드는 것이 순서다.
숫자부터 계산한 답안에서 빠진 한 줄
관찰된 답안에서는 학생이 행렬의 숫자들을 먼저 더한 뒤 다음 줄로 넘어갔다. x와 y가 포함된 위치를 따로 표시하지 않았고, ‘2A의 둘째 행 둘째 열’과 ‘B의 둘째 행 둘째 열’을 대응시키는 근거도 남기지 않았다. 이 경우 계산 결과가 우연히 맞더라도 행렬 등식에서 방정식이 만들어진 이유를 설명할 수 없다.
특히 행렬을 하나의 큰 수처럼 다루면 2A + B를 전체적으로 계산하려는 잘못이 생긴다. 행렬의 덧셈은 같은 위치의 원소끼리만 가능하므로, 각 위치를 따로 읽어야 한다.
답안에 대응 위치를 말로 남기는 연습
풀이를 시작할 때 행렬의 위치를 간단히 읽는다. 예를 들어 y를 구할 때는 “둘째 행 둘째 열의 원소를 비교한다”라고 말한 뒤 다음 식을 적는다.
2A의 둘째 행 둘째 열은 2y이고, B의 같은 위치 원소는 2이므로 C의 같은 위치 원소 14와 비교하면 2y + 2 = 14이다.
이제 2y = 12이므로 y = 6이다. 구한 값을 원래 대응식에 다시 넣으면 2·6 + 2 = 14가 되어 조건을 만족한다. x도 2·3 + 4 = 10으로 확인할 수 있다. 답안에 이처럼 위치와 식의 근거를 함께 남기면 다음 계산으로 넘어가도 어떤 조건을 사용했는지 추적할 수 있다.
학교 일정에 맞춘 짧은 복습 단위
학교 프린트와 교과서 복습이 겹치는 주간에는 행렬 문제 전체를 반복하기보다 한 문제에서 미지 원소의 위치를 표시하고 대응 방정식 두 개를 직접 쓰는 데 집중한다. 평일 귀가 시간이 늦은 날에는 위 등식에서 x 식과 y 식을 각각 만드는 것까지만 먼저 수행하고, 계산과 대입 검산은 이어서 마무리할 수 있다. 같은 광주시의 경화여자고등학교, 광남고등학교, 태전고등학교, 곤지암고등학교는 참고 학교일 뿐 초월읍 소재 학교와 구분해야 하며, 실제 학습량은 초월고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정에 맞춰 조정한다.
조건을 바꾼 행렬에서도 위치를 설명하는가
훈련 뒤에는 다음과 같이 계수와 원소를 바꾼 문제를 제시한다.
3P − Q = R
P = [ [a, −2], [4, b] ], Q = [ [1, 5], [−3, 7] ], R = [ [14, −11], [15, 2] ]
둘째 행 둘째 열을 비교하면 3b − 7 = 2이므로 b = 3이다. 첫째 행 첫째 열은 3a − 1 = 14이므로 a = 5이다. 이때 정답만 말하게 하지 않고, “어느 행과 열의 원소를 대응시켰는지”, “−Q에서 왜 −7이 되는지”를 설명하는지 확인한다.
처음 문제의 풀이를 외우지 않고 조건이 바뀐 등식에서도 같은 위치를 찾아 방정식을 세운다면, 미지 원소가 포함된 행렬 등식을 실제로 해석하고 있는지 확인할 수 있다.