오포읍고2수학과외

인수분해 뒤에 각의 범위를 먼저 세우는 이유

오포읍고2수학과외에서는 학교별 내신 일정과 통학 시간을 고려하되, 풀이의 출발점은 지역이 아니라 식의 구조에서 찾는다. 오포읍에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로 광주시 내 초월고·경화여고·광남고·태전고·곤지암고 등을 통학권 참고로만 보고, 학생이 남긴 풀이 한 줄을 기준으로 판단한다.

문제는 다음과 같다.

0≤x<2π에서 sin x(2cos x−1)=0을 만족하는 x를 구하여라.

학생은 식을 인수분해한 뒤 곧바로 2cos x−1=0만 적고, cos x=1/2에서 x=π/3, 5π/3을 구했다. 이 두 값은 맞지만 전체 해는 아니다. 곱이 0이 되려면 두 인수 중 하나만 0이어도 되므로, 풀이가 시작된 자리에서 다음 줄을 추가해야 한다.

sin x=0인 가지를 먼저 복원하기

sin x(2cos x−1)=0이므로

sin x=0 또는 2cos x−1=0이다.

주어진 범위 0≤x<2π에서

• sin x=0이면 x=0, π
• cos x=1/2이면 x=π/3, 5π/3

따라서 해는 x=0, π/3, π, 5π/3이다. x=2π는 범위에 포함되지 않으므로 넣지 않는다.

이 장면에서 확인되는 부분은 삼각함수 값을 몰라서가 아니라, 인수분해된 식의 각 인수를 모두 확인하고 각의 범위 안에서 해를 걸러내는 근거가 아직 풀이 첫 줄에 고정되지 않았다는 점이다. 같은 문제를 처음부터 다시 쓰기보다, 빠뜨린 위치인 sin x=0에서 이어서 가지를 추가하는 방식으로 수정한다.

부호가 바뀐 식에서 순서를 바꾸어 보기

다음 문항으로 판단 순서를 확인한다.

0≤x<2π에서 sin x(2cos x+1)<0을 만족하는 x의 범위를 구하여라.

이번에는 양수 조건이 아니라 음수 조건이므로, 인수의 부호를 따로 표시한다.

• sin x=0의 경계각: 0, π, 2π
• 2cos x+1=0의 경계각: cos x=−1/2이므로 2π/3, 4π/3

범위를 0≤x<2π에서 나누면 곱이 음수인 구간은

π/2<x<2π/3 또는 π<x<4π/3이다.

끝점에서는 한 인수가 0이 되어 곱이 0이므로 부등식이 엄격한 <0에는 포함하지 않는다. 새로운 조건에서도 먼저 각의 범위를 적고, 두 인수의 영점과 부호 구간을 표시한 뒤 답을 결정했는지를 확인한다.