오포읍고1수학과외, 영행렬과 단위행렬을 연산별로 구분하기
오포읍고1수학과외 학습에서 행렬 문제를 풀 때는 기호를 외우는 것보다 연산에 따라 역할이 달라진다는 점을 먼저 판단해야 한다. 오포읍에서 통학하며 학교별 프린트와 주간 일정에 맞춰 공부하는 경우에도, 풀이 첫 줄에 어떤 행렬이 덧셈의 기준이고 어떤 행렬이 곱셈의 기준인지 남기는 습관이 필요하다.
계산 전에 적어야 하는 한 줄
영행렬은 덧셈에서 영향을 주지 않는다. 같은 크기의 영행렬을 O라고 하면
A + O = O + A = A
가 성립한다. 반면 단위행렬 I는 곱셈에서 영향을 주지 않는다.
AI = IA = A
단, 행렬의 크기가 맞아야 하며 곱셈에서는 일반적으로 순서를 바꿀 수 없다. 예를 들어
A = [[2, -1], [3, 4]], O = [[0, 0], [0, 0]], I = [[1, 0], [0, 1]]
일 때 A + O = A이고 AI = A이다. 그러나 A + I는 A가 아니며, I를 곱하지 않고 더하면 대각 원소에 1이 더해져
A + I = [[3, -1], [3, 5]]
가 된다.
답안에서 사라진 판단 흔적
학교 수학 프린트의 행렬 계산에서 학생은 질문을 받으면 “영행렬은 더하기, 단위행렬은 곱하기”라고 답했지만, 혼자 풀 때는 풀이 시작부터 계산식만 적었다. 예를 들어 AI + O를 보고 곧바로 A라고 쓴 뒤, 왜 그런지 표시하지 않았다.
이 상태에서는 우연히 답을 맞혀도 연산 기호가 바뀌면 판단이 흔들릴 수 있다. 실제로 A + I가 주어졌을 때에는 단위행렬을 곱셈의 항등원처럼 취급하여 A라고 적었다. 이는 계산 실수라기보다 영행렬과 단위행렬의 역할을 덧셈과 곱셈에 나누어 연결하지 않은 결과다.
같은 행렬을 두 연산에 넣어 비교하기
먼저 다음 식을 중간식과 함께 기록한다.
B = [[-2, 5], [1, 3]]
B + O = [[-2+0, 5+0], [1+0, 3+0]] = B
이번에는 단위행렬을 더한다.
B + I = [[-2+1, 5+0], [1+0, 3+1]] = [[-1, 5], [1, 4]]
곱셈에서는 행과 열을 계산해야 한다.
BI = [[(-2)×1+5×0, (-2)×0+5×1], [1×1+3×0, 1×0+3×1]] = [[-2, 5], [1, 3]] = B
따라서 학생이 풀이 전에는 “O는 덧셈, I는 곱셈”이라고 적고, 풀이가 끝난 뒤에는 사용한 식과 그 역할이 일치했는지 다시 표시하게 한다. 틀린 줄을 고친 뒤에도 이 판단을 별도로 남겨야 계산 결과만 수정하고 개념 연결을 놓치는 일이 줄어든다.
오류가 시작된 줄을 찾는 연습
연습 중에는 정답만 지우고 다시 쓰지 않는다. 예를 들어 C(I+O)에서 학생이 먼저 I+O=I라고 썼다면, 그 줄은 맞다. 이후 CI=C로 정리할 수 있다. 반대로 C+I를 C로 바꾸었다면 오류는 행렬 계산을 시작한 첫 줄에서 발생한 것이다. C+I는 곱셈이 아니라 덧셈이므로 대각 원소만 1씩 변한다.
풀이 전에는 연산 기호 옆에 역할을 적고, 풀이 후에는 실제로 그 규칙을 적용했는지 확인한다. 중간식을 유지하면 답이 틀렸을 때 마지막 숫자만 추측하지 않고 잘못된 판단이 시작된 줄을 찾아 고칠 수 있다.
표의 단위를 바꾼 자료로 확인하기
훈련 뒤에는 같은 행렬을 반복하지 않고, 행과 열의 의미가 달라진 표 자료를 제시한다. 어떤 표에서 두 종류의 상품 이동량을
P = [[4, 1], [2, 5]]
로 나타내고, 자료의 기준을 바꾸는 행렬이
I2 = [[1, 0], [0, 1]], O2 = [[0, 0], [0, 0]]
라고 하자. 학생에게 P + O2와 PI2를 각각 계산하게 한 뒤, 답지를 보기 전에 두 식에서 영행렬과 단위행렬의 역할을 구분해 적게 한다. 이어서 P + I2도 요구하여 단위행렬을 더했을 때 P가 그대로인지 판단하게 한다.
이때 결과는 각각 P, P, [[5, 1], [2, 6]]이다. 학생이 중간식 P + I2를 유지한 채 대각 원소의 변화까지 확인한다면, 숫자나 표의 단위가 달라져도 연산에 따른 역할을 혼자 구별하고 오류가 시작된 줄을 수정할 수 있는지 확인된다.