회전 중복을 제거하는 원순열 풀이
오포읍에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 광주시의 초월고·경화여고·광남고·태전고·곤지암고 등을 통학권 참고 학교로 볼 수 있다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습시간이 다르기 때문에, 이 사례에서는 원순열의 조건을 식으로 설명하는 데 집중했다.
같은 원탁배치를 여러 번 센 오답
학생은 7명이 원탁에 앉을 때의 경우의 수를 다음과 같이 계산했다.
7! = 5040
하지만 이 식은 일렬로 배열하는 순열이다. 원탁에서는 모든 사람이 함께 시계방향으로 한 칸씩 이동한 배치가 같은 배치로 취급된다. 따라서 하나의 원탁배치를 7번씩 중복해서 센 셈이다.
한 사람을 고정해 회전 중복 제거하기
7명 중 A를 특정 자리에 고정하면 나머지 6명만 배열하면 된다.
(7-1)! = 6! = 720
즉, 원탁에서 회전하여 같은 배치를 같은 것으로 볼 때 원순열의 공식은 (n-1)!이다. 학생의 오답 7!은 회전 동치 조건을 반영하지 않아 틀린 식이다.
학생은 틀린 줄에 밑줄을 긋고, 먼저 “자리의 이름이 고정되어 있는가, 회전한 배치를 같은 것으로 보는가”를 확인했다. 원탁 조건에서는 A의 위치를 기준점으로 정한 뒤, 남은 사람의 배열만 세도록 식을 7! → 6!으로 교체했다. 이후 720개 배치를 A의 위치별로 다시 세면 7×720=5040이 되어 일렬 배열의 결과와 일치하므로 회전 중복이 제거되었는지도 역계산으로 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 6명 A, B, C, D, E, F를 원탁에 앉히되, A와 B가 서로 이웃하지 않도록 하자.
전체 원순열은 A를 고정하여
(6-1)! = 5! = 120
이다. A와 B가 이웃하는 경우에는 B가 A의 양옆 중 한 곳에 놓이고, 나머지 4명을 배열하므로
2×4! = 48
이다. 따라서 이웃하지 않는 경우는
120-48=72
이다. 학생은 조건의 방향을 반대로 바꾼 새 문제에서 먼저 전체 경우를 구한 뒤 제한되는 경우를 빼면서, 회전한 배치를 별개의 경우로 세지 않는지 다시 확인했다.