쌍령동고2수학과외에서 제한된 각 범위의 삼각방정식 점검
풀이 노트에는 0≤x<2π가 적혀 있었지만, 마지막 답에는 x=π/6+2kπ, 5π/6+2kπ가 그대로 남아 있었다. 삼각방정식에서는 기본해를 찾는 것과 주기를 적용한 뒤 주어진 범위 안의 해만 골라내는 일이 분리되어야 한다.
범위가 있는 순간 일반해는 최종 답이 아니다
예를 들어 다음 식을 보자.
2sin x-1=0, 0≤x<2π
먼저 sin x=1/2이므로 한 주기에서의 기본해는
x=π/6, 5π/6
이다. 일반해로 쓰면
x=π/6+2kπ 또는 x=5π/6+2kπ
이지만, 문제의 범위는 0≤x<2π이다. 따라서 k=0일 때의 두 값만 남고, 답은
x=π/6, 5π/6
가 된다. 범위 밖의 일반해까지 답에 적는 것은 주기를 몰라서가 아니라, 주기를 적용한 뒤 범위를 다시 대조하지 않은 오류다.
계수와 부호가 바뀌면 기본식부터 다시 세우기
쌍령동의 동성아파트나 센트럴푸르지오아파트 생활권에서 학교까지의 이동 시간이 학생마다 다르듯, 같은 삼각함수 단원에서도 문제의 조건이 조금만 달라지면 풀이의 출발점을 새로 잡아야 한다. 같은 광주시 통학권의 초월고등학교, 경화여자고등학교, 광남고등학교, 태전고등학교, 곤지암고등학교 등을 참고하더라도 학교별 문제를 임의로 단정하기보다, 학생이 실제로 적은 식과 범위를 기준으로 확인해야 한다.
변형 문제로
3cos x+3√3/2=0, -π≤x≤3π
를 제시하면 먼저
cos x=-√3/2
로 바꾼 뒤 한 주기에서 기본해를 정한다. 0≤x<2π에서는 5π/6, 7π/6이고, 일반해는
x=5π/6+2kπ 또는 x=7π/6+2kπ
이다. 이제 범위 -π≤x≤3π를 대입해 후보를 검사하면
-5π/6, 5π/6, 7π/6, 17π/6
만 남는다. 19π/6은 3π=18π/6보다 크므로 제외한다. 계수와 부호가 달라졌을 때 이전 문제의 답을 옮겨 적지 않고, 삼각함수값과 범위를 다시 확인한 결과다.
답 옆에 범위 검토 흔적 남기기
훈련에서는 범위 밖 일반해를 지우기보다, 해당 줄을 남긴 채 옆에 주어진 범위: -π≤x≤3π라고 적는다. 그 다음 각 후보를 실제 범위와 비교한다.
5π/6+2(-1)π=-7π/6 → 범위 밖
7π/6+2(-1)π=-5π/6 → 포함
5π/6+2(1)π=17π/6 → 포함
7π/6+2(1)π=19π/6 → 범위 밖
이처럼 기본해, 주기, 후보의 범위 검토를 각각 남기면 제한된 각에서 일반해를 그대로 답으로 옮기는 실수를 줄일 수 있다. 이후에는 0≤x<2π보다 넓은 구간에서도 새로운 기본해와 주기를 빠뜨리지 않고, 끝점 포함 여부까지 스스로 확인하는지 살핀다.