쌍령동고1수학과외에서 확인하는 AB와 BA의 순서 차이
행렬식 계산에서 AB와 BA를 같은 값으로 보는지는 곱셈 순서를 실제로 확인했는지 보여주는 기준이 된다. 쌍령동의 주거지에서 학교까지 이동하는 시간과 귀가 뒤 확보되는 시간이 학생마다 다를 수 있지만, 짧은 학습 시간에도 행렬의 곱 순서는 식으로 검산해야 한다.
계산하기 편한 순서와 곱셈의 순서는 다르다
다음 두 행렬을 보자.
A =
\(\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\),
B =
\(\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\)
AB를 계산하면
AB = \(\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+6&0+2\\0+3&0+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}\)
반대로 BA는
BA = \(\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+0&2+0\\3+0&6+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}\)
따라서 \(AB\ne BA\)이다. 숫자를 곱하는 일반적인 수의 곱셈에서는 \(3\times5=5\times3\)이지만, 행렬에서는 각 원소가 “행과 열의 내적”으로 결정되므로 앞에 놓인 행렬과 뒤에 놓인 행렬의 역할이 달라진다.
정답을 맞혀도 확인되지 않은 행동
수업 중 학생은 \(AB\)를 먼저 계산한 뒤 “곱하기 편한 쪽부터 계산하면 된다”고 말하며 \(BA\)를 같은 결과로 처리했다. 풀이에는 \(AB\)만 적고, 답을 다시 옮겨 적을 때에도 두 곱을 따로 계산하지 않았다.
이 장면은 행렬 곱의 계산법을 전혀 모른다는 뜻이라기보다, 곱의 순서가 결과에 영향을 주는지 실제 값으로 확인하지 않은 상태를 보여준다. 특히 \(AB\)와 \(BA\)가 모두 정의되는 경우에는 순서를 바꾸어도 된다고 착각하기 쉽다.
두 곱을 나란히 계산해 차이를 남긴다
풀이할 때 먼저 주어진 식의 순서를 그대로 유지한다. 그다음 비교를 위해 순서를 바꾼 곱을 별도로 계산한다.
- 원래 식: \(AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}\)
- 순서를 바꾼 식: \(BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}\)
두 행렬의 왼쪽 위 원소는 각각 \(7\), \(1\)이고 오른쪽 아래 원소는 각각 \(1\), \(7\)이다. 한 원소만 비교해도 두 결과가 다르다는 것을 확인할 수 있다. 오답 기록에는 긴 해설 대신 “행렬 곱은 계산 편의로 순서를 바꾸지 않고, AB와 BA를 따로 계산한다”라는 행동을 남긴다.
서술형에서는 식·근거·결론을 분리한다
서술형 답안이라면 다음 세 부분이 모두 있어야 한다.
- 식: \(AB\)와 \(BA\)를 각각 행렬 곱으로 계산한다.
- 근거: \(AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}\), \(BA=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}\)임을 제시한다.
- 결론: 두 행렬의 원소가 다르므로 일반적으로 \(AB\ne BA\)라고 쓴다.
“행렬은 순서가 중요하다”라는 문장만 적으면 결론은 있지만 근거가 부족하다. 계산식과 결과를 함께 남겨야 실제로 순서를 바꾸지 않았는지 확인할 수 있다.
좌표 순서가 바뀐 문제에서 다시 확인하기
새로운 문제에서는 행렬 대신 좌표를 사용한다. 점 \(P=(2,-3)\)를 좌표평면에 나타낼 때 \(x=2\)만큼 오른쪽으로 이동한 뒤 \(y=-3\)을 따라 아래쪽에 점을 표시해야 한다. 만약 \((-3,2)\)에 표시했다면 두 수를 사용했더라도 \(x\)좌표와 \(y\)좌표의 순서를 바꾼 것이다.
학생이 그래프에 점을 찍은 뒤 먼저 가로축에서 \(x=2\), 세로축에서 \(y=-3\)을 확인하고, 표시한 점의 좌표를 다시 읽어 \(P=(2,-3)\)인지 검산하는지 본다. 행렬에서 \(AB\), \(BA\)를 따로 계산했던 행동이 좌표 문제에서도 순서 확인으로 이어지는지 확인하는 방식이다.
쌍령동에서 광주시 내 학교 통학권을 오가는 일정처럼 학습 시간이 짧더라도, 한 문제의 답만 다시 적기보다 바뀐 순서가 결과를 바꾸는지 계산으로 남겨야 한다. 이 과정이 유지될 때 행렬 곱과 좌표 읽기에서 기호의 위치를 스스로 통제할 수 있다.