쌍령동고3수학과외

쌍령동 고3수학과외: 조건이 바뀐 중복순열 다시 세기

쌍령동의 동성아파트와 센트럴푸르지오아파트처럼 생활권이 나뉘면 통학 시간과 자습 가능 시간이 학생마다 달라질 수 있다. 같은 광주시의 초월고등학교, 경화여자고등학교, 광남고등학교, 태전고등학교, 곤지암고등학교를 통학권 참고 대상으로 보되, 이 학교들이 쌍령동에 소재한다고 단정하지 않고 학생의 실제 이동 시간을 함께 고려했다.

금지 숫자를 놓친 중복순열 풀이

학생은 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허용하여 네 자리 비밀번호를 만드는 문제를 먼저 풀었다. 각 자리마다 5가지 선택이 가능하므로 전체 경우의 수는

5⁴ = 625

이다. 그런데 다음 문제에서 숫자 5를 사용할 수 없다는 조건이 추가되었다.

숫자 1, 2, 3, 4, 5 중 중복을 허용하여 네 자리 비밀번호를 만들 때, 5를 사용하지 않는 경우의 수를 구하여라.

학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

5⁴ = 625

이 식은 틀렸다. 숫자 5가 금지되었으므로 각 자리의 선택지는 1, 2, 3, 4 네 가지뿐이다. 중복을 허용하더라도 선택 가능한 숫자의 수가 5에서 4로 줄어들었으므로 정확한 식은

4⁴ = 256

이다. 중복순열에서 중요한 것은 숫자를 반복할 수 있는지뿐 아니라, 각 자리에서 실제로 허용되는 선택지가 몇 개인지를 먼저 확인하는 것이다.

틀린 줄을 표시하고 조건부터 다시 확인하기

학생은 오답인 5⁴에 밑줄을 긋고, 문제의 금지 조건인 ‘5를 사용하지 않는다’를 동그라미로 표시했다. 그다음 네 자리 각각에 가능한 숫자를 적었다.

• 첫째 자리: 1, 2, 3, 4 → 4가지
• 둘째 자리: 1, 2, 3, 4 → 4가지
• 셋째 자리: 1, 2, 3, 4 → 4가지
• 넷째 자리: 1, 2, 3, 4 → 4가지

따라서 식을

5 × 5 × 5 × 5

에서

4 × 4 × 4 × 4 = 4⁴ = 256

으로 다시 작성했다. 마지막으로 전체 625가지에서 숫자 5가 한 번 이상 포함된 경우를 빼는 방식으로도 확인했다.

숫자 5를 한 번도 사용하지 않는 경우가 4⁴이므로, 5가 적어도 한 번 포함된 경우는

5⁴ - 4⁴ = 625 - 256 = 369

이다. 두 경우의 합이 256 + 369 = 625가 되어 전체 경우의 수와 일치한다.

조건을 바꾼 새 문제로 검증하기

이번에는 숫자 0, 1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허용하여 네 자리 수를 만들되, 0과 5를 모두 사용할 수 없다고 하자. 첫째 자리에는 1, 2, 3, 4 중 네 가지가 가능하고, 나머지 세 자리에도 1, 2, 3, 4 중 네 가지가 가능하다.

따라서 경우의 수는

4 × 4 × 4 × 4 = 4⁴ = 256

이다. 만약 첫째 자리 제한을 무시하고 모든 자리에서 1, 2, 3, 4를 선택할 수 있다고 판단했다면, 이번에는 우연히 같은 식이 나오지만 그 이유는 네 자리 수의 첫째 자리에서도 0이 이미 금지되어 있기 때문이다. 조건이 바뀔 때마다 금지 숫자와 자리의 역할을 새로 확인해야 하며, 이전 문제의 식이나 그래프 모양을 그대로 옮겨 쓰면 안 된다.