경안동고2수학과외, 인수분해형 삼각방정식에서 해를 빠뜨리지 않는 풀이
“sin x(2cos x-1)=0이므로 cos x=1/2만 구해 x=π/3, 5π/3.”
경안동에서 광주시 안의 초월고등학교, 경화여자고등학교, 광남고등학교, 태전고등학교, 곤지암고등학교 등으로 통학하며 고등학교 수학 문제를 풀다 보면, 풀이 시간이 부족해지는 순간 이런 식으로 한 갈래를 생략하기 쉽다. 그러나 이 식의 핵심은 삼각함수값 계산보다 곱이 0이 되는 조건을 모두 나누어 적는 데 있다.
곱이 0이면 두 인수의 경우를 모두 써야 한다
구간을 0≤x<2π라고 하자.
sin x(2cos x-1)=0
곱이 0이므로 다음 두 경우를 각각 조사한다.
-
sin x=0주어진 범위에서
x=0, π이다.2π는 범위에 포함되지 않는다. -
2cos x-1=0cos x=1/2이므로x=π/3, 5π/3이다.
따라서 해는
x=0, π/3, π, 5π/3
이다. 앞의 오답은 두 번째 인수만 처리했기 때문에 sin x=0에서 나오는 0, π를 모두 누락했다. 실제로 x=0을 원래 식에 대입하면 0×(2-1)=0이고, x=π에서도 0×(-2-1)=0이므로 두 값은 분명한 해다.
계산 줄에 ‘경우’와 범위 확인을 남기는 훈련
인수분해형 삼각식은 인수분해가 끝난 뒤 바로 한 식만 선택하지 않도록 다음처럼 풀이 줄을 고정한다.
AB=0 → A=0 또는 B=0
이번 식에서는 답안 옆에 다음 두 줄을 반드시 남긴다.
① sin x=0 → x=0, π
② 2cos x-1=0 → cos x=1/2 → x=π/3, 5π/3
그 뒤 각 값을 원래 식에 대입하거나, 각 인수가 0이 되는지 확인한다. 이 과정을 거치면 한 인수의 해를 적은 뒤 다음 줄로 넘어가지 않는 실수를 눈으로 발견할 수 있다.
계수가 바뀐 식에서도 두 갈래가 살아 있는가
새 조건으로 0≤x<2π에서 다음 방정식을 풀어 보자.
(2sin x+1)cos x=0
먼저 곱이 0이 되는 두 경우를 독립적으로 적는다.
2sin x+1=0 → sin x=-1/2 → x=7π/6, 11π/6
cos x=0 → x=π/2, 3π/2
따라서 해는 π/2, 7π/6, 3π/2, 11π/6이다. 이 문제에서 첫 번째 인수의 해만 적거나, 두 번째 인수의 해만 적는다면 앞서 고친 풀이 절차가 아직 조건이 바뀐 상황에서 유지되지 않은 것이다. 인수마다 별도의 해 목록을 만들고 마지막에 범위 밖 값을 제거하는지가 확인 지점이다.