경안동고1수학과외 행렬 곱셈에서 결합법칙과 교환법칙 구별하기
경안동에서 통학하며 학교 과제와 시험 준비를 함께 진행하는 고1 학생에게 행렬 단원은 공식의 암기보다 연산 순서를 구별하는 일이 먼저다. 특히 수행평가에서 도형의 위치를 회전해 표현하는 문제와 지필평가의 행렬 계산 문제는 모두 곱셈의 순서를 정확히 읽어야 한다.
공식부터 적은 뒤 바뀐 것은 연산 순서였다
학교 프린트의 행렬 문제에서 학생은 문제를 읽자마자 최근에 배운 결합법칙을 적고 다음 줄로 넘어갔다. 답안에는 AB=BA라는 식이 먼저 나타났지만, 행렬에서는 일반적으로 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다. 문제에서 요구한 것은 A(BC)와 (AB)C처럼 괄호의 위치를 바꾸는 결합법칙인지, AB와 BA처럼 행렬의 순서를 바꾸는 교환법칙인지 확인하는 과정이었다.
결합법칙: (AB)C=A(BC)
교환법칙: AB=BA
같은 세 행렬로 두 법칙을 분리해 계산하기
예를 들어
A=[[1, 2], [0, 1]], B=[[2, 0], [1, 3]], C=[[1, 1], [2, 0]]
라고 하자. 결합법칙을 확인할 때는 행렬의 순서를 유지한다.
AB=[[4, 6], [1, 3]]이므로
(AB)C=[[16, 4], [7, 1]]이다.
한편 BC=[[2, 2], [7, 1]]이고
A(BC)=[[16, 4], [7, 1]]이므로 두 결과가 같다. 이는 곱셈의 묶는 위치만 달리한 결합법칙의 확인이다.
반대로 교환법칙을 확인하려면 AB와 BA를 직접 비교해야 한다. 위 행렬에서
BA=[[2, 4], [1, 5]]
이므로 AB=[[4, 6], [1, 3]]와 다르다. 따라서 이 예에서는 AB≠BA이다. 학생이 결합법칙을 알고 있다는 이유만으로 AB=BA라고 쓰면, 괄호 변경과 순서 변경을 혼동한 오답이 된다.
빠진 확인 표시를 계산 줄에 되돌려 놓기
오답을 고칠 때는 답만 지우지 않고, 잘못된 식이 시작된 위치에 ‘괄호만 변경’ 또는 ‘순서 변경’이라고 표시한다. 예를 들어 문제에 (AB)C와 A(BC)를 비교하라고 되어 있으면 A, B, C의 배열은 그대로 둔 채 계산 순서만 나눈다. 문제에 BA가 등장하면 B가 먼저 왔다는 사실을 표시하고, AB와 같은지 별도로 계산한다.
이 과정을 통해 학생은 공식을 먼저 쓰는 대신 문제의 식에서 바뀐 대상이 괄호인지 행렬의 위치인지 찾게 된다. 계산 전 한 줄에 “순서 유지, 묶음만 변경”이라고 적는 것도 유효하다.
회전된 도형에서도 첫 판단을 스스로 꺼내는가
수행평가에서는 행렬로 나타낸 변환 순서를 그림의 회전으로 바꾸어 제시할 수 있다. 이때 그림의 위치가 회전되어 보이더라도 먼저 원점, 회전 방향, 변환이 적용되는 순서를 표시하게 한다. 두 변환을 P와 Q라고 하면 점에 적용되는 결과는 QPv처럼 오른쪽 행렬부터 작용할 수 있으므로, 그림에서 보이는 방향만 보고 PQ라고 쓰면 안 된다.
새 그림을 제시했을 때 학생이 별도의 지시 없이 먼저 “변환 순서와 행렬의 곱 순서를 표시한다”고 적고, 그 뒤 결합법칙인지 교환법칙인지 구분한다면 수정한 행동이 실제로 자리 잡은 것이다. 반대로 다시 공식을 바로 적는다면 계산보다 문제의 조건 표시를 먼저 연습해야 한다.
통학 시간에 연결하는 확인 문제
이편한세상광주역아파트 등 생활권에서 이동한 뒤 짧은 학습 시간에는 학교 수행평가의 회전 그림과 지필평가의 행렬식을 한 문제씩 연결해 볼 수 있다. 같은 변환을 행렬식으로 제시한 문제에서 학생이 먼저 적용 순서를 표시하고, 이후 (AB)C와 A(BC)는 같게 묶을 수 있지만 AB와 BA는 별도로 비교해야 한다는 점을 설명하는지 확인한다.
- 괄호만 달라졌는가?
- 행렬의 배열 순서가 달라졌는가?
- 계산 전에 적용 순서를 표시했는가?
이 세 질문에 답한 뒤 새로운 회전 그림의 첫 줄을 스스로 작성한다면, 수행평가와 지필평가에 공통으로 필요한 행렬 연산의 판단을 독립적으로 연결하고 있는지 확인할 수 있다.