경안동 고3 수학과외에서 원순열의 첫 오류 찾기
경안동에서 광주시 내 초월고등학교, 경화여자고등학교, 광남고등학교, 태전고등학교, 곤지암고등학교 등을 통학권 참고 대상으로 두고 공부하는 고3 학생은 중학교 때보다 길어진 이동 시간과 과제량 때문에 풀이를 처음부터 다시 쓰기보다 채점된 줄에서 오류를 빠르게 찾아야 했다. 원순열 문제에서도 계산 실수보다 ‘회전한 배열을 같은 것으로 보는가’와 ‘서로 다른 대상인가’를 먼저 판단하는 습관이 중요했다.
n!을 쓴 순간 조건이 사라졌다
서로 다른 6명 A, B, C, D, E, F를 원탁에 앉힐 때, 회전하여 같은 배치는 하나로 본다고 하자. 학생은 다음과 같이 적었다.
전체 배열 수 = 6! = 720
이 식은 오답이다. 일렬로 세우는 경우에는 6!이지만, 원탁에서는 회전한 배열을 같은 배치로 처리한다. 예를 들어 A를 기준으로 고정하면 나머지 다섯 명만 배열하면 되므로 전체 경우의 수는
(6-1)! = 5! = 120
이다. 학생은 채점 후 풀이 전체를 다시 쓰지 않고, 먼저 6!을 쓴 첫 줄에 표시해야 했다. 그다음 ‘원탁, 회전 동일’이라는 조건에서 한 사람을 고정한다는 화살표를 그렸다.
원탁에서 회전 동일 → A 고정 → 나머지 5명 배열 → 5! = 120
인접 조건까지 연결한 수정 풀이
같은 6명이 원탁에 앉을 때 A와 B가 서로 이웃하지 않는 경우를 구하면, 전체 경우에서 인접한 경우를 빼야 한다.
- 전체: A를 고정하므로 5! = 120
- A와 B가 인접: B는 A의 왼쪽 또는 오른쪽이므로 2 × 4! = 48
- 이웃하지 않는 경우: 5! - 2 × 4! = 120 - 48 = 72
학생은 처음에 전체를 6!으로 두고 6! - 2 × 5!라고 계산했지만, 이는 원탁의 회전 중복을 전체와 인접 조건 양쪽에서 일관되게 제거하지 못한 식이다. 수정 뒤에는 A를 고정한 배치와 계산 결과를 비교했다. 원탁 그림에서 A의 양옆 두 자리를 표시하면 인접 배치는 2가지 방향이고, 나머지 네 명의 배열은 4!이므로 48이라는 값이 그래프와도 맞았다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 서로 다른 사람이 아니라 A가 두 명 포함된 다섯 개의 물체 A, A, B, C, D를 원탁에 배열한다고 하자. 회전하여 같은 배치는 하나로 본다.
한 A를 기준으로 고정하면 단순히 4!이라고 할 수 없다. 두 A가 서로 구별되지 않아 같은 배열이 두 번씩 세어지므로
(5-1)! ÷ 2! = 4! ÷ 2 = 12
이다. 학생은 새 조건에서 먼저 ‘중복 없음’이라는 기존 판단을 지우고, 원탁 → 한 자리 고정, 동일한 A 두 개 → 2!로 나눔을 화살표로 연결했다. 이어 작은 원탁 배열을 직접 나열해 12개인지 확인하고, 회전한 배열을 같은 것으로 묶어 계산식과 대조했다. 숫자와 중복 조건이 달라져도 첫 줄에서 변수의 구별 가능성과 회전 허용 여부를 확인하는 기준이 재현되는지 점검한 것이다.