강서구고2수학과외

계산 줄에서 뒤바뀐 대칭의 방향

강서구 고2수학과외 수업에서 지수함수 변형 문제를 풀이하던 중, 학생의 오답표에는 y=-2^x를 y=2^x의 y축 대칭이라고 적혀 있었다. 그러나 식 앞에 붙은 음수는 입력값 x를 바꾸는 것이 아니라 함수값 전체의 부호를 바꾼다.

y=-f(x)와 y=f(-x)를 구별하기

기준 함수가 f(x)=2^x일 때 다음 두 변환은 서로 다르다.

• y=-f(x)=-2^x: x축 대칭
• y=f(-x)=2^-x: y축 대칭

실제로 f(0)=1이므로 y=-2^x의 그래프에는 (0,-1)이 놓인다. 또 (1,2)는 (1,-2)로 이동한다. x좌표의 부호가 바뀌지 않았으므로 y축 대칭이 아니다. 반대로 y=2^-x에서는 (1,2)가 (-1,2)로 이동한다.

오답이 생긴 줄을 세 칸으로 추적하기

문제에서 y=2^x를 x축 대칭한 그래프의 식을 구하라고 하자. 학생의 풀이가 다음과 같다면 오류는 계산 칸이 아니라 조건을 해석하는 칸에서 시작된다.

y=2x의 y축 대칭 → y=2-x

올바른 판단은 y=-f(x)이므로

y=-2x

이다. 오답표에는 조건·계산·검산 중 어느 칸에서 틀렸는지 표시한다. 이 경우에는 ‘y축 대칭’이라고 읽은 조건 칸을 고치고, 계산 칸에는 -(2x)를 남긴다. 검산에서는 기준점 (0,1)이 (0,-1)로 이동했는지 확인한다.

그래프 근거를 식 옆에 남기는 훈련

대칭이동 문제를 풀 때 식만 변형하지 않고 기준점 하나와 점근선을 함께 적는다.

y=3x : (0,1), 점근선 y=0

이를 x축 대칭하면

y=-3x : (0,-1), 점근선 y=0

이처럼 x좌표는 그대로이고 y좌표의 부호만 바뀌면 x축 대칭이다. 반면 y축 대칭이라면 (1,3)→(-1,3)처럼 x좌표가 바뀌어야 한다. 풀이표의 세 칸 중 오류가 발견된 칸만 다시 작성하게 하여, 그래프 근거 없이 변환식을 외우는 과정을 끊는다.

밑과 이동량을 바꾼 확인 문제

새 조건에서 다음을 혼자 처리한다.

y=4x+2의 x축 대칭 그래프와 y축 대칭 그래프의 식을 각각 구하여라.

x축 대칭은 함수값 전체의 부호를 바꾸므로

y=-(4x+2)=-4x-2

이다. y축 대칭은 x 대신 -x를 대입하므로

y=4-x+2

이다. 마지막에는 원래 그래프의 점 (0,3)을 대입한다. x축 대칭식에서는 (0,-3), y축 대칭식에서는 (0,3)이 되어야 하므로, 변환 방향과 계산 결과가 모두 일치하는지 확인한다.

마곡동·가양동·등촌동 등 생활권과 학교별 주간 일정은 다를 수 있지만, 이 유형에서 필요한 판단은 동일하다. 식을 바꾼 직후 기준점의 좌표가 어느 방향으로 이동했는지 적어야 대칭이동의 근거가 계산 줄에 남는다.